ریاضیات

بررسی گروه پریوفر Z(p^∞) و یک همریختی طبیعی

در این نوشته، گروه پریوفر Z(p^∞) را بررسی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که اگر

T_n = { z ∈ Z(p^∞) | z^pn = 1 }

باشد، آنگاه:

Z(p^∞) / T_n ≅ Z(p^∞)

1) تعریف گروه و زیرگروه T_n

گروه پریوفر Z(p^∞) را به صورت گروه همه‌ی ریشه‌های

p^m-امِ واحد در نظر می‌گیریم؛ یعنی:

Z(p^∞) = { exp( 2πi k / p^m ) | m ≥ 0 , k ∈ Z }

برای هر n ≥ 0 زیرگروه T_n را چنین تعریف می‌کنیم:

T_n = { z ∈ Z(p^∞) | z^pn = 1 }

این زیرگروه شامل تمام عناصری است که مرتبه‌شان مقسومی از pⁿ است.

2) تعریف نگاشت φ

نگاشت φ : Z(p^∞) → Z(p^∞) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

φ(z) = z^pn

3) اثبات همریختی بودن φ

برای هر دو عنصر z₁, z₂ ∈ Z(p^∞) داریم:

φ(z₁z₂) = (z₁z₂)^pn

= z₁^pn z₂^pn

= φ(z₁)φ(z₂)

پس φ یک همریختی گروهی است.

4) محاسبه‌ی هسته

هسته‌ی این نگاشت برابر است با:

Ker(φ) = { z ∈ Z(p^∞) | φ(z) = 1 }

چون φ(z) = z^pn، بنابراین:

Ker(φ) = { z ∈ Z(p^∞) | z^pn = 1 } = T_n

5) اثبات پوشا بودن φ

یک عنصر دلخواه w ∈ Z(p^∞) را در نظر بگیرید. آنگاه می‌توان نوشت:

w = exp( 2πi k / p^m )

حال عنصر z را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

z = exp( 2πi k / p^m+n )

واضح است که z ∈ Z(p^∞). همچنین:

φ(z) = z^pn

= (exp( 2πi k / p^m+n ))^pn

= exp( 2πi k / p^m )

= w

پس برای هر w یک پیش‌تصویر وجود دارد، و در نتیجه φ پوشا است.

6) نتیجه‌گیری با قضیه‌ی اول همریختی

چون Ker(φ) = T_n و Im(φ) = Z(p^∞)،

از قضیه‌ی اول همریختی نتیجه می‌گیریم:

Z(p^∞) / T_n ≅ Z(p^∞)