تحلیل ساختار گروه ماتریسی G و زیرگروه H

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم مرداد ۱۴۰۵ | 0:1

تحلیل ساختار گروه ماتریسی G و زیرگروه H

گروه G شامل ماتریس‌های دو در دو بالامثلثی با فرم زیر است که در آن k یک عدد صحیح و p(x) یک چندجمله‌ای با ضرایب گویا (عضوی از Q[x]) است:

2^k	p(x)
0	1

برای بررسی ویژگی‌های این گروه، ابتدا قاعده ضرب دو عضو دلخواه از G را محاسبه می‌کنیم:

2^k	p(x)
0	1

2^s	q(x)
0	1

2^k+s	2^kq(x) + p(x)
0	1

تعریف زیرگروه H

زیرگروه H حالتی خاص از گروه G است که در آن توان عدد دو برابر با صفر است (یعنی k = 0):

H = {

1	p(x)
0	1

| p(x) ∈ Q[x] }

اثبات عدم نرمال بودن H در G

برای بررسی اینکه آیا H در G نرمال است یا خیر، باید برقرار بودن رابطه هم‌دسته‌ها یعنی Hu = uH را برای تمام اعضای u بررسی کنیم. فرض می‌کنیم عضو u را به صورت ماتریس قطری زیر در نظر بگیریم:

u =

2^-1	0
0	1

حال حاصل هم‌دسته‌های چپ و راست را حساب می‌کنیم:

محاسبه هم‌دسته راست (Hu):

1	p(x)
0	1

2^-1	0
0	1

2^-1	p(x)
0	1

محاسبه هم‌دسته چپ (uH):

2^-1	0
0	1

1	p(x)
0	1

2^-1	2^-1p(x)
0	1

با مقایسه دو ماتریس نهایی متوجه می‌شویم که درایه اول سطر اول در یک فرمول برابر p(x) و در دیگری برابر 2^-1p(x) است. از آنجا که این دو چندجمله‌ای برای تمام مقادیر یکسان نیستند، نتیجه می‌گیریم که Hu ≠ uH. بنابراین، زیرگروه H در G نرمال نیست.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی