ریاضیات

محاسبات ماتریسی و هم‌یوغی در گروه ماتریس‌ها

هدف این بخش محاسبهٔ هم‌یوغی (conjugation) یک ماتریسِ انتقالیِ بالا-مثلثی توسط توان‌های یک ماتریس قطری است؛ یعنی محاسبهٔ

x^-n y xⁿ.

این نوع محاسبات نشان می‌دهد چگونه «پارامترِ» بالای قطر تحت هم‌یوغی مقیاس می‌شود.

۱) تعریف ماتریس‌ها

روی میدان/حلقه‌ای که

2

در آن وارون‌پذیر باشد (مثلاً

ℚ

یا

ℝ)، دو ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

x = [ [2, 0], [0, 1] ] ,     y = [ [1, 1], [0, 1] ].

(ماتریس

y

یک «ترنسوِکشن/انتقالی» است و

x

قطری است.)

۲) محاسبهٔ xⁿ و x^-n

چون

x

قطری است، توان‌هایش به‌سادگی به‌دست می‌آیند:

xⁿ = [ [2ⁿ, 0], [0, 1] ].

همچنین (با فرض وارون‌پذیریِ

2)

داریم:

x^-n = (xⁿ)^-1 = [ [2^-n, 0], [0, 1] ].

۳) محاسبهٔ هم‌یوغی: x^-n y xⁿ

ابتدا ضرب میانی را حساب می‌کنیم:

y xⁿ

= [ [1, 1], [0, 1] ] [ [2ⁿ, 0], [0, 1] ]

= [ [2ⁿ, 1], [0, 1] ].

حالا از چپ در

x^-n

ضرب می‌کنیم:

x^-n (y xⁿ)

= [ [2^-n, 0], [0, 1] ] [ [2ⁿ, 1], [0, 1] ]

= [ [1, 2^-n], [0, 1] ].

بنابراین برای هر

n

داریم:

x^-n y xⁿ = [ [1, 2^-n], [0, 1] ].

۴) تفسیر گروهی (مقیاس شدن پارامتر ترنسوِکشن)

به طور کلی اگر

u(t) = [ [1, t], [0, 1] ]

باشد و

d(a) = [ [a, 0], [0, 1] ]

(با

a

وارون‌پذیر)، آن‌گاه:

d(a)^-1 u(t) d(a) = u(t/a).

در مسئلهٔ ما

a = 2ⁿ

و

t = 1

است، پس پارامترِ بالای قطر از

1

به

2^-n

تبدیل می‌شود.

۵) (اختیاری) بیان استقرایی برای اطمینان

اگر رابطه را برای

n

داشته باشیم، برای

n+1

نیز:

x^-(n+1) y xⁿ⁺¹

= x^-1 ( x^-n y xⁿ ) x

= x^-1 [ [1, 2^-n], [0, 1] ] x

= [ [1, 2^-(n+1)], [0, 1] ].

که همان الگوی به‌دست‌آمده را تأیید می‌کند.