ریاضیات

گروه تولیدشده توسط دو عنصرِ مرتبهٔ ۲

فرض کنید
G = < x , y >
و
o(x) = 2
و
o(y) = 2.
پس:

x² = 1 ,    y² = 1
  ⇒  
x^-1 = x ,    y^-1 = y

۱) فرم کاهش‌یافتهٔ هر عنصر

هر
g ∈ G
یک کلمه در حروف
{x,y}
است:

g = x₁ x₂ ... x_t ,    x_i ∈ {x , y}

چون
xx = 1
و
yy = 1،
هرجا دو حرفِ مساویِ متوالی بیاید حذف می‌شود؛ بنابراین کلمهٔ نهایی (کاهش‌یافته) باید «یکی‌درمیان» باشد.
در نتیجه هر عنصر یا از نوعِ متناوبِ شروع‌شونده با
x
است یا شروع‌شونده با
y.

اگر کلمه با
x
شروع شود:

اگر t زوج باشد:   g = xyxy ... xy = (xy)^t/2

اگر t فرد باشد:   g = xyxy ... xyx = (xy)^(t-1)/2 x

اگر کلمه با
y
شروع شود نیز به یکی از همین فرم‌ها برمی‌گردد؛ و به طور خلاصه به این نتیجهٔ کلیدی می‌رسیم:

۲) افراز گروه به دو هم‌دسته

بگذارید
C = <xy>.
آنگاه تمام عناصر گروه یا در
C
هستند یا در هم‌دستهٔ چپِ آن:

G = C ∪ xC

و اگر بخواهیم این را به صورت «اجتماع دو مجموعه» بنویسیم:

G = { (xy)ⁱ | i ∈ Z } ∪ { x (xy)ⁱ | i ∈ Z }

(در حالت متناهی، به‌جای
Z
می‌توان شاخص‌ها را پیمانهٔ مرتبهٔ
xy
گرفت.)

۳) نتیجه: شاخص ۲ و نرمال بودن

از
G = C ∪ xC
نتیجه می‌شود که تعداد هم‌دسته‌های
C
در
G
برابر ۲ است؛ یعنی:

[ G : C ] = 2

و هر زیرگروه با شاخص ۲ نرمال است. پس:

C ◃ G

۴) مرتبهٔ گروه (اگر متناهی باشد)

اگر
|C| = |<xy>| = k
باشد، طبق لاگرانژ:

|G| = [ G : C ] . |C| = 2k