ریاضیات

نظریه گروه‌ها (۲۶): فرم نرمال کلمات در <x,y> با x² = y² = 1 و ارائهٔ دیه‌درال

طبق یادداشت این اسلاید، فرض کنید G = <x,y> و داشته باشیم x² = 1 و y² = 1. هدف این است که نشان بدهیم هر عنصر g در G را می‌توان به یکی از دو فرم استاندارد نوشت: یا یک «توان از xy» و یا «x ضربدر یک توان از xy». این همان فرم نرمال کلاسیک در گروه‌های دیه‌درال است.

۱) کاهش کلمات (Word reduction)

هر عنصر g در G به صورت یک کلمه روی حروف x و y نوشته می‌شود، یعنی

g = x₁ x₂ ... xₙ

که هر xᵢ یکی از x یا y است.

از آنجا که x² = 1 و y² = 1، هرجا دو حرف مساوی پشت‌سرهم بیاید حذف می‌شود:

xx = 1 و yy = 1.

پس هر کلمه را می‌توان به کلمه‌ای «کاهش‌یافته» تبدیل کرد که در آن هیچ‌گاه دو حرف مساوی پشت‌سرهم وجود ندارد. نتیجه این است که در فرم کاهش‌یافته، حروف حتماً یکی‌درمیان عوض می‌شوند (x,y,x,y,...) یا (y,x,y,x,...).

۲) دو حالت اصلی: طول زوج و طول فرد

اگر طول کلمه کاهش‌یافته زوج باشد، کلمه الزاماً به شکل (xy)ᵗ یا (yx)ᵗ است. ولی چون yx = (xy)⁻¹ (در ادامه توضیح می‌دهیم)، هر دو را می‌توان به صورت (xy)ᵗ نوشت.

اگر طول کلمه کاهش‌یافته فرد باشد، کلمه الزاماً به یکی از دو شکل زیر است:

x(xy)ᵗ یا y(yx)ᵗ.

و باز هم با بازنویسی، همه را می‌توان در یکی از این دو خانواده جا داد.

۳) تعریف b = xy و نتیجهٔ فرم نرمال

در یادداشت شما b = xy تعریف شده است. آنگاه نتیجهٔ کلیدی این اسلاید این است که:

هر g در G یا از فرم bᵗ است، یا از فرم x bᵗ (برای یک عدد صحیح t).

یعنی به صورت مجموعه‌ای:

G = { bᵗ | t در Z } ∪ { x bᵗ | t در Z }.

این همان چیزی است که در اسلاید به صورت «دوران‌ها» و «بازتاب‌ها» دیده می‌شود: bᵗ ها شبیه دوران‌ها، و x bᵗ ها شبیه بازتاب‌ها هستند.

۴) محاسبهٔ وارونگی و رابطهٔ yx = b⁻¹

چون x⁻¹ = x و y⁻¹ = y، داریم:

b⁻¹ = (xy)⁻¹ = yx.

پس هرجا yx ظاهر شود، می‌توان آن را به صورت b⁻¹ نوشت و کلمات را فقط با b و x بیان کرد.

۵) ارائهٔ دیه‌درال (Presentation) و اتصال به Dₖ

در انتهای اسلاید شما به ارائهٔ استاندارد دیه‌درال اشاره کرده‌اید. اگر علاوه بر x² = 1 و y² = 1، فرض کنیم b = xy مرتبهٔ متناهی k دارد (یعنی bᵏ = 1)، آنگاه گروهی که ساخته می‌شود همان گروه دیه‌درال متناهی است:

Dₖ = <a,b | a² = 1, bᵏ = 1, a b a = b⁻¹>.

در تطبیق با یادداشت شما معمولاً a را برابر x می‌گیریم و b را همان xy. رابطهٔ a b a = b⁻¹ همان وارون‌سازیِ دوران توسط بازتاب است.

جمع‌بندی

اسلاید نشان می‌دهد که با روابط x² = y² = 1، هر کلمه روی x و y به یکی از دو فرم استاندارد bᵗ یا x bᵗ کاهش می‌یابد (b = xy). اگر b مرتبه k داشته باشد، ساختار دقیقاً به دیه‌درال Dₖ ختم می‌شود؛ و اگر b مرتبه نامتناهی داشته باشد، به دیه‌درال نامتناهی می‌رسیم.