نظریه گروهها (۱۶): حفظ نرمال بودن در قضیه تناظر
در ادامهی قضیهی تناظر، اکنون میخواهیم بررسی کنیم که آیا این تناظر فقط بین زیرگروهها برقرار است، یا نرمال بودن را نیز حفظ میکند. پاسخ مثبت است: اگر N زیرگروه نرمالی از G باشد، آنگاه تناظر بین زیرگروههای شامل N در G و زیرگروههای G/N، نرمال بودن را هم حفظ میکند.
۱. یادآوری نگاشت طبیعی
فرض کنید N ◁ G. در این صورت نگاشت طبیعی زیر را در نظر میگیریم:
π : G → G/N
اگر H زیرگروهی از G باشد و N ⊆ H، آنگاه H/N یک زیرگروه از G/N خواهد بود.
۲. ادعا
اگر N ⊆ H ≤ G، آنگاه:
H ◁ G if and only if H/N ◁ G/N
۳. اثبات جهت اول
فرض کنید H ◁ G. میخواهیم نشان دهیم H/N ◁ G/N.
برای این کار، یک عضو دلخواه از G/N به صورت gN و یک عضو دلخواه از H/N به صورت hN در نظر میگیریم. چون H در G نرمال است، داریم:
ghg⁻¹ ∈ H
بنابراین در خارجقسمت نیز خواهیم داشت:
(gN)(hN)(gN)⁻¹ = (ghg⁻¹)N ∈ H/N
پس H/N در G/N نرمال است.
۴. اثبات جهت دوم
اکنون فرض کنید H/N ◁ G/N. میخواهیم نتیجه بگیریم که H ◁ G.
چون H/N در G/N نرمال است، برای هر gN در G/N و هر hN در H/N داریم:
(gN)(hN)(gN)⁻¹ ∈ H/N
یعنی:
(ghg⁻¹)N ∈ H/N
پس خود عضو ghg⁻¹ در H قرار میگیرد. بنابراین برای هر g در G و هر h در H داریم:
ghg⁻¹ ∈ H
و این دقیقاً یعنی H ◁ G.
۵. نتیجه
پس در قضیهی تناظر، نه تنها زیرگروهها با هم متناظرند، بلکه زیرگروههای نرمال نیز با هم متناظر هستند. در نتیجه برای مطالعهی زیرگروههای نرمالِ G/N، کافی است زیرگروههای نرمالِ G را که شامل N هستند بررسی کنیم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.