ریاضیات

الگوریتم محاسبهٔ گروه بنیادیِ شکل 8 با استفاده از قضیهٔ ون‌کامپن

برای محاسبهٔ گروه بنیادیِ شکل 8 می‌توان یک روند مرحله‌به‌مرحله و منظم در نظر گرفت.

این روند نشان می‌دهد که چگونه از تجزیهٔ هندسیِ فضا به نتیجهٔ جبریِ نهایی می‌رسیم.

در واقع، ون‌کامپن فقط یک فرمول نهایی نیست، بلکه نوعی الگوریتم مفهومی برای ساختن

π₁(X, x₀)

از روی اجزای فضاست.

گام اول: انتخاب تجزیهٔ مناسب فضا

فضای شکل 8 را به صورت اجتماع دو زیر‌فضای همبندِ مسیر در نظر می‌گیریم:

به‌گونه‌ای که

U

تقریباً دایرهٔ اول را دربرگیرد و

V

تقریباً دایرهٔ دوم را، و هر دو شامل نقطهٔ پایه

x₀

باشند.

همچنین ناحیهٔ اشتراک

U ∩ V

را طوری می‌گیریم که یک همسایگی کوچک و همبند پیرامون نقطهٔ اتصال باشد.

گام دوم: محاسبهٔ گروه بنیادیِ هر جزء

چون هر یک از دو زیر‌فضا از نظر هموتوپی به یک دایره جمع می‌شود، داریم:

یعنی هر جزء یک مولد مستقل به گروه بنیادیِ نهایی می‌دهد.

گام سوم: محاسبهٔ گروه بنیادیِ اشتراک

چون اشتراک دو جزء فقط یک ناحیهٔ کوچکِ بدون حلقهٔ اساسی است، از نظر هموتوپی به یک نقطه جمع می‌شود. پس:

این یعنی اشتراک، رابطهٔ غیربدیهی‌ای میان دو مولد تحمیل نمی‌کند.

گام چهارم: اعمال فرمول ون‌کامپن

اکنون فرمول قضیه را به کار می‌بریم:

با جایگذاری مقادیر به‌دست‌آمده:

و چون آمیزش روی گروه بدیهی انجام می‌شود، این همان حاصل‌ضرب آزاد معمولی است:

گام پنجم: تفسیر عناصر گروه

اگر مولد دایرهٔ اول را

a

و مولد دایرهٔ دوم را

b

بنامیم، آن‌گاه هر عنصر گروه بنیادی به صورت یک واژه در این دو مولد نوشته می‌شود:

و چون هیچ رابطه‌ای مانند

ab = ba

وجود ندارد، این گروه آزاد و ناآبلی است.

جمع‌بندی الگوریتمی

بنابراین الگوریتم محاسبهٔ گروه بنیادیِ شکل 8 را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد:

در مثال شکل 8، این الگوریتم در نهایت به این پاسخ می‌رسد: