ریاضیات

۲) بررسی اجزا و اشتراک

برای اجرای دقیق قضیهٔ ون‌کامپن، باید فضا را به دو زیر‌فضا (ترجیحاً باز و همبند مسیر) تجزیه کنیم و سپس گروه‌های بنیادیِ هر جزء و نیز گروه بنیادیِ ناحیهٔ اشتراک را بشناسیم.

در مثال شکل 8، طبیعی‌ترین تجزیه این است که هر دایره را (به‌همراه یک همسایگی کوچک از نقطهٔ اتصال) به عنوان یک جزء در نظر بگیریم.

فرض کنید

X

همان شکل 8 باشد و نقطهٔ پایه

x₀

همان نقطهٔ اتصال دو دایره.

دو زیر‌فضای

U

و

V

را طوری انتخاب می‌کنیم که:

شهود هندسی این انتخاب چنین است:

U

تقریباً «تمام دایرهٔ اول» (به‌علاوهٔ یک ناحیهٔ کوچک اطراف

x₀)

و

V

تقریباً «تمام دایرهٔ دوم» (به‌علاوهٔ همان ناحیهٔ کوچک اطراف

x₀)

است. این کار باعث می‌شود هر سه فضا

U،

V

و

U ∩ V

همبند مسیر باشند (شرط استاندارد ون‌کامپن).

(الف) گروه بنیادیِ هر جزء

هر یک از دو جزء، از نظر هموتوپی به یک دایره جمع می‌شود (deformation retract می‌شود). به زبان دقیق‌تر:

بنابراین:

(یعنی هر کدام یک مولد دارند: دور زدنِ اصلی حول همان دایره.)

(ب) گروه بنیادیِ اشتراک

چون ما

U

و

V

را با «همسایگی‌های کوچکِ مشترک» دورِ

x₀

تعریف کردیم، ناحیهٔ اشتراک

U ∩ V

یک مجموعهٔ کوچکِ متصل پیرامون همان نقطه است که از نظر هموتوپی به یک نقطه جمع می‌شود. پس:

این دقیقاً همان جایی است که تفاوت «شکل 8» با فضاهایی مثل «تورس» روشن می‌شود:

در تورس، ناحیه‌های اشتراکِ مناسب معمولاً حلقه‌دارند و رابطهٔ جابه‌جایی تولید می‌کنند؛

اما این‌جا اشتراک از نظر هموتوپی تهی از حلقه است، پس هیچ رابطهٔ غیر بدیهی تحمیل نمی‌شود.

(ج) نگاشت‌های القایی از اشتراک به اجزا

نگاشت‌های شمول را در نظر بگیرید:

این‌ها روی گروه‌های بنیادی نگاشت‌های القایی می‌دهند:

اما چون

π₁(U ∩ V, x₀)

گروهِ بدیهی است، هر دو نگاشت القایی «فقط» عنصر همانی را به همانی می‌فرستند؛

بنابراین هیچ رابطهٔ تازه‌ای بین مولدهای دو کپیِ

Z

ایجاد نمی‌شود.