مثال: شکل 8
یکی از مشهورترین کاربردهای قضیه ونکامپن، محاسبهٔ گروه بنیادیِ فضای موسوم به شکل 8 است.
این فضا از اجتماع دو دایره تشکیل میشود که فقط در یک نقطه به هم میرسند.
اگر این دو دایره را با
A
و
B
نشان دهیم، آنگاه داریم:
X = A ∪ B, A ∩ B = {x0}
چون اشتراک
A ∩ B
فقط یک نقطه است، این فضا همبند ساده است؛ پس:
π1(A ∩ B, x0) ≅ {1}
بنابراین، طبق قضیه ونکامپن داریم:
π1(X,x0) ≅ π1(A,x0) * π1(B,x0)
از سوی دیگر، هر یک از فضاهای
A
و
B
همریخت با دایره
S1
هستند؛ ازاینرو:
π1(A,x0) ≅ π1(S1) ≅ Z
π1(B,x0) ≅ π1(S1) ≅ Z
در نتیجه:
π1(X,x0) ≅ Z * Z
پس گروه بنیادیِ شکل 8 برابر با حاصلضرب آزادِ دو گروه دوری نامتناهی است.
توجه شود که این گروه با
Z × Z
متفاوت است؛ زیرا
Z * Z
گروهی ناآبلی است، در حالی که
Z × Z
آبلی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.