ریاضیات

تجزیهٔ قضیه ون‌کامپن

قضیه ون‌کامپن این امکان را فراهم می‌کند که برای محاسبهٔ گروه بنیادی یک فضای توپولوژیکی،

آن فضا را به دو زیر فضای مناسب تجزیه کنیم. فرض کنید

X = U ∪ V

که در آن

U

و

V

دو زیر فضای باز و همبند مسیر باشند و

U ∩ V

نیز همبند مسیر باشد.

در این صورت، گروه بنیادیِ کل فضا از گروه‌های بنیادی این دو بخش و همچنین از اطلاعات موجود در اشتراک آن‌ها به دست می‌آید. به طور دقیق داریم:

یعنی گروه بنیادی

X

به صورت حاصل‌ضرب آزاد با آمیزشِ

π₁(U,x₀)

و

π₁(V,x₀)

روی

π₁(U ∩ V,x₀)

ساخته می‌شود.

معنای این تجزیه آن است که به جای مطالعهٔ مستقیم یک فضای پیچیده، ابتدا آن را به اجزای ساده‌تر تقسیم می‌کنیم، سپس گروه بنیادی هر جزء را جداگانه به دست می‌آوریم، و در پایان با استفاده از اطلاعات اشتراک، گروه بنیادی کل فضا را بازسازی می‌کنیم.

بنابراین، قضیه ون‌کامپن یک قضیهٔ تجزیه‌ای است؛ زیرا ساختار جبریِ فضای کل را از راه تجزیهٔ هندسیِ فضا به اجزای مناسب به دست می‌دهد.

اگر اشتراک

U ∩ V

همبند ساده باشد، یعنی

آنگاه هیچ رابطهٔ غیربدیهی از طرف اشتراک وارد نمی‌شود، و فرمول قضیه به صورت ساده‌تر زیر درمی‌آید:

در این حالت، گروه بنیادیِ فضای کل فقط حاصل‌ضرب آزاد گروه بنیادیِ دو جزء است.