ریاضیات

۵. مثال اول: محاسبه گروه بنیادی دایره

یکی از ساده‌ترین و مهم‌ترین کاربردهای قضیه ون‌کامپن، محاسبه گروه بنیادی دایره

S¹

است. برای این کار، دایره را به دو زیرمجموعه باز هم‌بند مسیر

U

و

V

می‌شکنیم، به‌طوری که هر دو شبیه به بازه باشند و اشتراک آن‌ها نیز هم‌بند مسیر باشد.

در این حالت، هر یک از فضاهای

U

و

V

به‌طور هموتوپی به یک نقطه فشرده می‌شوند، پس:

از سوی دیگر، اشتراک

U ∩ V

نیز هم‌بند مسیر است و گروه بنیادی آن نیز تهی است:

بنابراین، طبق قضیه ون‌کامپن داریم:

این نتیجه نشان می‌دهد که گروه بنیادی دایره، گروه اعداد صحیح است. از دیدگاه شهودی، هر مسیر بسته روی دایره را می‌توان با تعداد دورهای آن به دور مرکز مشخص کرد؛ و همین «تعداد پیچش» به صورت یک عدد صحیح ظاهر می‌شود.

این مثال، یکی از کلاسیک‌ترین نمونه‌ها برای نشان دادن قدرت قضیه ون‌کامپن است؛ زیرا با شکستن یک فضا به اجزای ساده‌تر، می‌توان گروه بنیادی آن را به‌صورت کاملاً جبری بازسازی کرد.