تعمیم دفرمهبندی تغییر شکل در فضاهای حاصلضرب
در ادامه مباحث توپولوژی جبری، میتوان مشاهده کرد که مفهوم دفرمهبندی تغییر شکل (Deformation Retract) تنها محدود به مثالهای خاص نیست و در فضاهای حاصلضرب به خوبی تعمیم مییابد.
بررسی فضاهای اقلیدسی و دیسکها
به عنوان یک مثال بنیادی، فضای اقلیدسی n-بعدی یعنی Rⁿ دارای دفرمهبندی تغییر شکل روی تکنقطه {0} است. به همین ترتیب، دیسک بسته n-بعدی یعنی Dⁿ نیز روی مرکز خود دفرمه میشود. این ویژگی باعث میشود که در حاصلضربهای دکارتی نیز نتایج مشابهی بگیریم.
قضیه کلی برای فضاهای حاصلضرب
فرض کنید A یک فضای توپولوژیکی دلخواه باشد. در این صورت فضاهای زیر همگی دارای دفرمهبندی تغییر شکل روی زیرفضای A هستند:
1. A × Rⁿ → A
2. A × Dⁿ → A
این به این معناست که هرگاه یک فضای توپولوژیکی در یک فضای منقبضشونده (Contractible) ضرب شود، حاصلضرب نهایی همچنان از نظر نوع هموتوپی با فضای اولیه A یکسان است.
مثال کاربردی: جنبره توپر
اگر در رابطه بالا، به جای A دایره S¹ را قرار دهیم و برای فضای دوم دیسک دوبعدی D² را انتخاب کنیم، خواهیم داشت:
S¹ × D² ≈ S¹
این همان نتیجهای است که در یادداشت قبلی به آن اشاره شد: جنبره توپر با دایره همارز همجایی (هموتوپی) است. این تساوی نشاندهنده قدرت ابزار دفرمهبندی در سادهسازی فضاهای پیچیده به فضاهای شناختهشدهتر است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.