ریاضیات

اثبات: دفرمه تغییر شکل و هم‌ارزی هموتوپی

طبق تمرین شماره ۷۵، قصد داریم نشان دهیم که اگر فضای A یک دفرمه تغییر شکل از فضای X باشد، آنگاه این دو فضا با یکدیگر هم‌ارز هموتوپی هستند.

تعریف نگاشت‌ها

فرض کنید نگاشت الحاق (Inclusion) به صورت i از A به X باشد و نگاشت رتریکت (Retraction) به صورت r از X به A تعریف شود.

گام‌های اثبات

برای اینکه دو فضا هم‌ارز هموتوپی باشند، باید ترکیب نگاشت‌های آن‌ها با نگاشت همانی (Identity) هموتوپ باشد.

۱. ترکیب اول: نگاشت r ترکیب با i (که از A به A است)، برابر با نگاشت همانی روی فضای A است. این نتیجه مستقیم تعریف رتریکت است که نقاط A را ثابت نگه می‌دارد.

۲. ترکیب دوم: نگاشت i ترکیب با r (که از X به X است)، طبق تعریف دفرمه تغییر شکل، با نگاشت همانی روی فضای X هموتوپ است. این همان شرط اساسی است که در تعریف دفرمه تغییر شکل ذکر کردیم:

i ترکیب با r هموتوپ است با Identity روی X

نتیجه‌گیری

از آنجا که ترکیب این نگاشت‌ها در هر دو جهت با نگاشت‌های همانی هموتوپ هستند، ثابت می‌شود که A و X دارای نوع هموتوپی یکسانی هستند. بنابراین، هر دفرمه تغییر شکل، در واقع یک هم‌ارزی هموتوپی است.