3.2. یکتایی همریختی القایی در گروه بنیادی
در این بخش، یکی از خواص اساسی نگاشتهای القایی بر گروه بنیادی را بیان میکنیم.
این نتیجه نشان میدهد که اگر دو نگاشت پیوسته نسبت به نقطهپایه هموتوپ باشند،
آنگاه همریختیهای القایی متناظر آنها بر گروه بنیادی برابر خواهند بود.
3.2.1. بیان قضیه
فرض کنید
\( \varphi_0, \varphi_1 : (X,x_0) \to (Y,y_0) \)
دو نگاشت پیوسته باشند. اگر
\( \varphi_0 \simeq \varphi_1 \)
نسبت به نقطهپایه، آنگاه
\( (\varphi_0)_* = (\varphi_1)_* : \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0) \)
3.2.2. آغاز اثبات
برای اثبات، یک عنصر دلخواه
\( [f] \in \pi_1(X,x_0) \)
را در نظر میگیریم. طبق تعریف نگاشت القایی داریم:
\( (\varphi_0)_*([f]) = [\varphi_0 \circ f] \)
\( (\varphi_1)_*([f]) = [\varphi_1 \circ f] \)
پس کافی است نشان دهیم که دو حلقه
\( \varphi_0 \circ f \)
و
\( \varphi_1 \circ f \)
در فضای
\( Y \)
هموتوپ هستند.
3.2.3. ساخت هموتوپی
از آنجا که
\( \varphi_0 \simeq \varphi_1 \)،
هموتوپیای به صورت
\( H : X \times I \to Y \)
وجود دارد به طوری که
\( H(x,0)=\varphi_0(x) \qquad,\qquad H(x,1)=\varphi_1(x) \)
اکنون نگاشت
\( G : I \times I \to Y \)
را به صورت
\( G(s,t)=H(f(s),t) \)
تعریف میکنیم.
3.2.4. بررسی دو سر هموتوپی
برای
\( t=0 \)
داریم:
\( G(s,0)=H(f(s),0)=\varphi_0(f(s))=(\varphi_0 \circ f)(s) \)
و برای
\( t=1 \)
داریم:
\( G(s,1)=H(f(s),1)=\varphi_1(f(s))=(\varphi_1 \circ f)(s) \)
پس
\( G \)
یک هموتوپی بین
\( \varphi_0 \circ f \)
و
\( \varphi_1 \circ f \)
است.
3.2.5. نتیجهگیری
در نتیجه،
\( \varphi_0 \circ f \simeq \varphi_1 \circ f \)
و بنابراین
\( [\varphi_0 \circ f] = [\varphi_1 \circ f] \)
پس خواهیم داشت:
\( (\varphi_0)_*([f]) = (\varphi_1)_*([f]) \)
و چون
\( [f] \)
دلخواه بود، نتیجه میگیریم:
\( (\varphi_0)_* = (\varphi_1)_* \)
3.2.6. تفسیر
این قضیه بیان میکند که همریختی القایی روی گروه بنیادی تنها به ردهی هموتوپی نگاشت وابسته است.
به بیان دیگر، اگر دو نگاشت نسبت به نقطهپایه هموتوپ باشند، در سطح گروه بنیادی اثر یکسانی دارند.
3.2. یکتایی همریختی القایی در گروه بنیادی
در این بخش، یکی از خواص اساسی نگاشتهای القایی بر گروه بنیادی را بیان میکنیم. این نتیجه نشان میدهد که اگر دو نگاشت پیوسته نسبت به نقطهپایه هموتوپ باشند، آنگاه همریختیهای القایی متناظر آنها بر گروه بنیادی برابر خواهند بود.
3.2.1. بیان قضیه
فرض کنید \( \varphi_0, \varphi_1 : (X,x_0) \to (Y,y_0) \) دو نگاشت پیوسته باشند. اگر \( \varphi_0 \simeq \varphi_1 \) نسبت به نقطهپایه، آنگاه
\( (\varphi_0)_* = (\varphi_1)_* : \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0) \)
3.2.2. آغاز اثبات
برای اثبات، یک عنصر دلخواه \( [f] \in \pi_1(X,x_0) \) را در نظر میگیریم. طبق تعریف نگاشت القایی داریم:
\( (\varphi_0)_*([f]) = [\varphi_0 \circ f] \)
\( (\varphi_1)_*([f]) = [\varphi_1 \circ f] \)
پس کافی است نشان دهیم که دو حلقه \( \varphi_0 \circ f \) و \( \varphi_1 \circ f \) در فضای \( Y \) هموتوپ هستند.
3.2.3. ساخت هموتوپی
از آنجا که \( \varphi_0 \simeq \varphi_1 \)، هموتوپیای به صورت \( H : X \times I \to Y \) وجود دارد به طوری که
\( H(x,0)=\varphi_0(x) \)
\( H(x,1)=\varphi_1(x) \)
اکنون نگاشت \( G : I \times I \to Y \) را به صورت زیر تعریف میکنیم:
\( G(s,t)=H(f(s),t) \)
3.2.4. بررسی دو سر هموتوپی
برای \( t=0 \) داریم:
\( G(s,0)=H(f(s),0)=\varphi_0(f(s))=(\varphi_0 \circ f)(s) \)
و برای \( t=1 \) داریم:
\( G(s,1)=H(f(s),1)=\varphi_1(f(s))=(\varphi_1 \circ f)(s) \)
پس \( G \) یک هموتوپی بین \( \varphi_0 \circ f \) و \( \varphi_1 \circ f \) است.
3.2.5. نتیجهگیری
در نتیجه،
\( \varphi_0 \circ f \simeq \varphi_1 \circ f \)
و بنابراین،
\( [\varphi_0 \circ f] = [\varphi_1 \circ f] \)
پس خواهیم داشت:
\( (\varphi_0)_*([f]) = (\varphi_1)_*([f]) \)
و چون \( [f] \) دلخواه بود، نتیجه میگیریم:
\( (\varphi_0)_* = (\varphi_1)_* \)
3.2.6. تفسیر
این قضیه بیان میکند که همریختی القایی روی گروه بنیادی تنها به ردهی هموتوپی نگاشت وابسته است. به بیان دیگر، اگر دو نگاشت نسبت به نقطهپایه هموتوپ باشند، در سطح گروه بنیادی اثر یکسانی دارند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.