ریاضیات

مثال دوم: نگاشت پادهمال روی کره و هم‌ریختی القایی همولوژی

یکی از زیباترین کاربردهای هم‌ریختی القایی در توپولوژی جبری، بررسی نگاشت‌های روی کره‌های چندبعدی (Sⁿ) و به دست آوردن هم‌ریختی‌های القایی روی گروه‌های همولوژی تکین (Singular Homology) است. این محاسبات مستقیماً به مفاهیمی مثل درجه نگاشت (Mapping Degree) منجر می‌شوند.

۱. تعریف نگاشت انعکاس و نگاشت پادهمال

کره Sⁿ را به عنوان زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی ℝⁿ⁺¹ در نظر بگیرید. نگاشت انعکاس نسبت به یکی از محورهای مختصات (مثلاً محور اول) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

نگاشت پادهمال (Antipodal Map) که هر نقطه روی کره را به نقطه مقابلش می‌نگارد، به صورت زیر تعریف می‌شود:

واضح است که نگاشت پادهمال ترکیب n + 1 نگاشت انعکاس روی تمام محورهاست:

۲. ساختار گروه‌های همولوژی کره

می‌دانیم که گروه همولوژی مرتبه nام کره Sⁿ (برای n > 0) با گروه اعداد صحیح ایزومورف است:

بنابراین هر نگاشت پیوسته از Sⁿ به خودش، یک هم‌ریختی القایی روی این گروه ایجاد می‌کند که با یک عمل ضرب در عدد صحیح نشان داده می‌شود.

۳. محاسبه هم‌ریختی القایی نگاشت پادهمال

با استفاده از ساختار CW-complex یا همولوژی ساده‌ای (Simplicial Homology)، می‌توان نشان داد که هر نگاشت انعکاس r جهت را روی دایره/کره برعکس می‌کند. بنابراین هم‌ریختی القایی آن روی همولوژی به صورت منفی‌کردن مولد عمل می‌کند:

از آنجا که نگاشت پادهمال a از ترکیب n + 1 انعکاس به دست می‌آید، با استفاده از خاصیت تابع‌گونی هم‌ریختی القایی داریم:

چون اثر هر انعکاس ضرب در -1 است، اثر نهایی ترکیب آن‌ها برابر خواهد بود با:

نتیجه‌گیری توپولوژیک

این هم‌ریختی القایی به ما می‌گوید:

• اگر بعد کره فرد باشد (مانند S¹, S³, ... که یعنی n فرد است)، آنگاه n + 1 زوج خواهد بود و هم‌ریختی القایی نگاشت پادهمال برابر با همانی (Identity) می‌شود: a_*(k) = k.
• اگر بعد کره زوج باشد (مانند S², S⁴, ... که یعنی n زوج است)، آنگاه n + 1 فرد خواهد بود و هم‌ریختی القایی نگاشت پادهمال برابر با منفی همانی می‌شود: a_*(k) = -k.

این نتیجه ساده اما شگفت‌انگیز ثابت می‌کند که روی کره‌های با بعد زوج (مثل S²)، نگاشت پادهمال هموتوپ با نگاشت همانی نیست. یکی از نتایج مستقیم این موضوع، قضیه توپ موی‌دار (Hairy Ball Theorem) است که نشان می‌دهد نمی‌توان میدان برداری مماس و بدون صفری روی کره‌های بعد زوج تعریف کرد.