مجموعه تمرینات طبقهبندی شده: توپولوژی جبری (گروه بنیادی)
تمرین ۱: اگر f مسیری از x به y باشد و f̄(t) = f(1-t) تعریف شود، نشان دهید f〚̄〛 = f (وارونِ وارونِ یک مسیر، خود آن مسیر است).
طبق تعریف مسیر معکوس داریم:
f̄(t) = f(1 - t)
f〚̄〛(t) = f̄(1 - t) = f(1 - (1 - t)) = f(t)
بنابراین نگاشت حاصل دقیقاً با ضابطه مسیر f برابر است.
تمرین ۲: نشان دهید در گروه بنیادی π1(X, x0)، وارونِ حاصلضرب دو کلاس، برابر است با حاصلضرب وارونهای آنها با ترتیب معکوس.
فرض کنید [f] و [g] دو عضو در گروه بنیادی باشند. میخواهیم نشان دهیم ([f][g])-1 = [g]-1[f]-1. با توجه به تعریف ضرب مسیرها:
(f * g)̄(t) = (f * g)(1 - t)
در لحظات t بین 0 تا 0.5، عبارت 1-t بین 1 تا 0.5 است که مربوط به پیمایش معکوس مسیر g میباشد. در نتیجه:
[(f * g)̄] = [ḡ * f̄] = [g]-1[f]-1
تمرین ۳: فرض کنید h مسیری از x0 به x1 باشد. نشان دهید نگاشت تغییر پایه βh([f]) = [h * f * h̄] یک همریختی است.
باید نشان دهیم βh([f * g]) = βh([f]) * βh([g]):
βh([f]) * βh([g]) = [h * f * h̄] * [h * g * h̄]
= [h * f * (h̄ * h) * g * h̄]
از آنجا که [h̄ * h] هموتوپ با مسیر ثابت ex1 است، حذف شده و خواهیم داشت:
= [h * f * ex1 * g * h̄] = [h * (f * g) * h̄] = βh([f * g])
تمرین ۴: چرا در فضاهای «مسیر-پیوسته»، گروه بنیادی به نقطه پایه وابسته نیست؟
زیرا در یک فضای مسیر-پیوسته، بین هر دو نقطه دلخواه x0 و x1، حداقل یک مسیر مانند h وجود دارد. با استفاده از این مسیر، میتوان نگاشت βh را تعریف کرد که یک ایزومورفیسم (همریختی دوسویی) بین π1(X, x1) و π1(X, x0) برقرار میکند. وجود ایزومورفیسم به معنای یکسانی ساختار جبری گروههاست.
تدوین شده برای بخش آموزش توپولوژی جبری وبلاگ | استفاده از محتوا با ذکر منبع آزاد است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.