قضیه: وجود عضو وارون در گروه بنیادی
در ادامهی مباحث توپولوژی جبری، پس از اثبات ویژگیهای شرکتپذیری و وجود عضو همانی، به بررسی آخرین اصل برای تشکیل ساختار گروهی در کلاسهای هموتوپی مسیرها، یعنی وجود عضو وارون میپردازیم.
تعریف ۱: مسیر معکوس (Inverse Path)
فرض کنید f مسیری پیوسته در فضای X باشد که از نقطه x شروع و به نقطه y ختم میشود. مسیر معکوس آن که با نماد f̄ (یا f-bar) نمایش داده میشود، به صورت زیر تعریف میگردد:
f̄(t) = f(1 - t) , t ∈ [0, 1]
لم ۱: هموتوپی با مسیر ثابت
حاصلضرب هر مسیر در معکوس آن، با مسیر ثابت در نقطه شروع همارز هموتوپیک است. به بیان ریاضی:
[f * f̄] = [ex]
اثبات:
برای اثبات، هموتوپی H(t, s) را بین مسیر ترکیبی (f * f̄) و مسیر ثابت ex به گونهای بنا میکنیم که در هر مرحله از s، مسیر تنها تا نقطهی f(1-s) پیش رفته و سپس بازگردد. ضابطه این نگاشت به شرح زیر است:
H(t, s) = f(2t(1-s)) , 0 ≤ t ≤ 1/2
H(t, s) = f(2(1-t)(1-s)) , 1/2 ≤ t ≤ 1
این نگاشت پیوسته است زیرا در نقطه مرزی t=1/2، هر دو ضابطه مقدار f(1-s) را به دست میدهند. همچنین در لحظه s=0، ضابطه فوق دقیقاً بر تعریف ضرب f * f̄ منطبق است و در لحظه s=1، برای تمامی مقادیر t، مقدار f(0) یا همان نقطه x حاصل میشود.
نتیجه: با برقراری این اصل، مجموعهی کلاسهای هموتوپی حلقهها در نقطه پایه x0 تحت عمل ضرب، تشکیل یک گروه میدهند که آن را گروه بنیادی π1(X, x0) مینامیم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.