بخش هجدهم: اثبات شرکتپذیری ضرب در کلاسهای هموتوپی
یکی از ویژگیهای ضروری برای تشکیل یک گروه، خاصیت شرکتپذیری است. در این بخش اثبات میکنیم که اگرچه ضرب مسیرها به عنوان تابع شرکتپذیر نیست، اما کلاسهای هموتوپی آنها این ویژگی را به طور کامل حفظ میکنند:
۱. تحلیل اختلاف سرعتها
بیایید ضابطه هر دو سمت را با دقت بررسی کنیم:
- سمت چپ ((f * g) * h): مسیر f در بازه [0, 1/4]، مسیر g در بازه [1/4, 1/2] و h در بازه [1/2, 1] طی میشود.
- سمت راست (f * (g * h)): مسیر f در بازه [0, 1/2]، مسیر g در بازه [1/2, 3/4] و h در بازه [3/4, 1] طی میشود.
۲. تعریف هموتوپی تغییر پارامتر
برای اثبات همارزی، باید نگاشتی پیوسته H(s, t) بسازیم که در لحظه t=0 تقسیمبندی سمت چپ را داشته باشد و در لحظه t=1 به تقسیمبندی سمت راست برسد. این کار با انتقال خطی نقاط مرزی (نقاط شکست) انجام میشود:
H(s, t) =
{ f(4s / (1+t)) 0 ≤ s ≤ (1+t)/4
{ g(4s - (1+t)) (1+t)/4 ≤ s ≤ (2+t)/4
{ h((4s - (2+t)) / (2-t)) (2+t)/4 ≤ s ≤ 1
۳. تحلیل نقاط مرزی و لم چسباندن
مشاهده میکنیم که با تغییر t، نقاط مرزی به صورت نرم جابجا میشوند:
نقطه اول از 1/4 (در t=0) به 1/2 (در t=1) میرود.
نقطه دوم از 1/2 (در t=0) به 3/4 (در t=1) میرود.
طبق لم چسباندن، چون ضابطهها در نقاط مرزی متغیر با هم توافق دارند (مثلاً در مرز اول هر دو برابر با f(1) = g(0) هستند)، نگاشت H در کل فضای I × I پیوسته است.
۴. نتیجهگیری: از مسیر به گروه
این اثبات نشان میدهد که در فضای هموتوپی، «نحوه زمانبندی» حرکت مهم نیست؛ بلکه «ترتیب عبور از نقاط» اهمیت دارد. به همین دلیل میتوانیم بدون نگرانی از پرانتزگذاری، ضرب n مسیر را تعریف کنیم. این آخرین قطعه از پازلی بود که ثابت میکند مجموعهی کلاسهای همارزی حلقهها با عمل ضرب، یک گروه میسازد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.