ریاضیات

اثبات گام‌به‌گام رابطه هم‌ارزی هموتوپی — گام دوم: خاصیت تقارنی (Symmetry)

پس از اثبات خاصیت بازتابی، دومین گام برای نشان دادن اینکه هموتوپی مسیرها با نقاط پایانی ثابت یک رابطه هم‌ارزی است، اثبات خاصیت تقارنی است. به زبان ساده، اگر مسیر f بتواند به آرامی به مسیر g تغییر شکل یابد، باید بتوانیم این فیلم تغییر شکل را به صورت معکوس پخش کنیم تا از g به f برسیم.

۱. فرضیات اولیه

فرض کنید f, g : I → X دو مسیر پیوسته با نقاط پایانی مشترک باشند؛ یعنی:

f(0) = g(0) = x₀     ,     f(1) = g(1) = x₁

هم‌چنین فرض می‌کنیم رابطه f ≃ g برقرار است. این یعنی یک نگاشت پیوسته (هموتوپی) مانند F : I × I → X وجود دارد که در شروط زیر صدق می‌کند:

• F(s, 0) = f(s)
• F(s, 1) = g(s)
• F(0, t) = x₀
• F(1, t) = x₁

۲. تعریف نگاشت هموتوپی معکوس (G)

برای اثبات اینکه g ≃ f است، باید نگاشت جدیدی به نام G : I × I → X بسازیم که در لحظه t = 0 برابر با g و در لحظه t = 1 برابر با f باشد. این نگاشت را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

۳. بررسی شروط چهارگانه برای نگاشت G

اکنون بررسی می‌کنیم که آیا تابع G شروط لازم برای هموتوپی مسیر میان g و f را برآورده می‌کند یا خیر:

• شرط اول (مرز پایین t = 0):

  
  

  G(s, 0) = F(s, 1 - 0) = F(s, 1) = g(s)

• شرط دوم (مرز بالا t = 1):

  
  

  G(s, 1) = F(s, 1 - 1) = F(s, 0) = f(s)

• شرط سوم (نقطه شروع s = 0):

  
  

  G(0, t) = F(0, 1 - t) = x₀    (چون نقاط پایانی در F برای هر زمانی ثابت بودند)

• شرط چهارم (نقطه پایان s = 1):

  
  

  G(1, t) = F(1, 1 - t) = x₁

۴. اثبات پیوستگی نگاشت G

نگاشت G را می‌توان به عنوان ترکیب دو تابع پیوسته در نظر گرفت:

G = F ˆ φ

که در آن نگاشت φ : I × I → I × I به صورت زیر تعریف می‌شود:

φ(s, t) = (s, 1 - t)

از آن‌جا که مؤلفه‌های نگاشت φ (یعنی تابع همانی روی مؤلفه اول و تابع درجه اول 1 - t روی مؤلفه دوم) هر دو نگاشت‌هایی پیوسته هستند، تابع φ پیوسته است. چون طبق فرض، هموتوپی F نیز پیوسته می‌باشد، ترکیب آن‌ها یعنی G نیز طبق قضایای پایه توپولوژی کاملاً پیوسته خواهد بود.