چرا نام آن «گروه» بنیادی است؟
تا اینجا دیدیم که در هر فضا، حلقهها را بر اساس هموتوپی دستهبندی میکنیم.
اما گروه بنیادی فقط یک فهرست از این دستهها نیست.
روی این دستهها یک عمل طبیعی هم وجود دارد،
و همین عمل باعث میشود با یک گروه روبهرو باشیم.
ایدهٔ اصلی:
اگر دو حلقه از یک نقطهٔ پایه شروع شوند و به همان نقطه بازگردند،
میتوان آنها را پشت سر هم طی کرد:
اول حلقهٔ اول را میرویم، سپس حلقهٔ دوم را.
این کار، یک حلقهٔ تازه میسازد.
پس اگر یک حلقه را با حلقهٔ دیگری دنبال کنیم،
در واقع نوعی ترکیب انجام دادهایم.
این ترکیب، همان عملی است که ساختار گروهی را به وجود میآورد.
مثال:
در دایره، فرض کنید یک حلقه یک بار در جهت مثبت دور دایره میگردد.
حلقهای دیگر هم یک بار دیگر در همان جهت میچرخد.
اگر این دو را پشت سر هم طی کنیم،
در مجموع حلقهای به دست میآید که دو بار دور دایره میگردد.
در این دیدگاه، حلقهای که هیچ دوری نمیزند نقش ویژهای دارد.
این همان حلقهای است که عملاً در نقطهٔ پایه میماند
یا به راحتی به آن فرو میریزد.
این حلقه مانند «عنصر خنثی» عمل میکند،
یعنی اگر آن را با حلقهای دیگر ترکیب کنیم،
تغییری در نوع حلقهٔ دوم به وجود نمیآورد.
نکته:
هر حلقه یک «وارون» هم دارد:
کافی است همان مسیر را در جهت برعکس طی کنیم.
مثلاً اگر یک بار دور دایره در جهت مثبت حرکت کنیم
و بعد همان مسیر را در جهت منفی برگردیم،
اثر این دو با هم مانند این است که هیچ دوری نزدهایم.
بنابراین، در گروه بنیادی سه ویژگی مهم دیده میشود:
وجود یک عمل ترکیب،
وجود یک حلقهٔ خنثی،
و وجود حلقهٔ وارون برای هر حلقه.
به همین دلیل، این ساختار فقط یک مجموعهٔ ساده نیست،
بلکه یک گروه واقعی است.
واژهٔ بنیادی هم از اینجا میآید که این گروه
یکی از پایهایترین ابزارها برای شناخت ساختار یک فضاست.
گروه بنیادی اغلب نخستین نشانه را از وجود سوراخها،
مانعها، و تفاوتهای عمیق میان فضاها به ما میدهد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.