مجتمع سادکی
در توپولوژی جبری و هندسهی ترکیبیاتی، مجتمع سادکی (Simplicial Complex)
ساختاری است که از کنار هم قرار گرفتن سادکها ساخته میشود.
سادکها تعمیمهای هندسیِ نقطه، پارهخط، مثلث و چهاروجهی هستند و
مجتمع سادکی روشی منظم برای ساختن فضاهای پیچیدهتر از این بلوکهای ساده فراهم میکند.
۱. سادک چیست؟
یک ۰-سادک یک نقطه است.
یک ۱-سادک یک پارهخط است.
یک ۲-سادک یک مثلث پر است.
یک ۳-سادک یک چهاروجهی پر است.
به طور کلی، یک n-سادک پوش محدب
n+1
نقطهی مستقل از نظر آفینی است.
۲. تعریف مجتمع سادکی
یک مجتمع سادکی مجموعهای K
از سادکهاست به طوری که دو شرط زیر برقرار باشد:
۱) هر وجهِ هر سادکِ متعلق به K نیز در K باشد.
۲) اشتراک هر دو سادک از K یا تهی باشد یا یک وجه مشترک از هر دوی آنها.
شرط اول میگوید اگر یک مثلث در مجتمع باشد، یالها و رأسهای آن نیز باید در مجتمع باشند.
شرط دوم نیز مانع از چسبیدن نامنظم سادکها به یکدیگر میشود.
۳. تعریف نمادی
اگر
K = {σi}
یک خانواده از سادکها باشد، آنگاه K یک مجتمع سادکی است هرگاه:
τ ≤ σ and σ ∈ K ⇒ τ ∈ K
σ, σ' ∈ K ⇒ σ ∩ σ' is empty or a common face
در اینجا
τ ≤ σ
یعنی τ یک وجه از
σ است.
۴. مثال ساده
اگر سه رأس
v0, v1, v2
داشته باشیم و همراه با یالهای میان آنها و خودِ مثلثِ پر را نیز در نظر بگیریم،
مجموعهی حاصل یک مجتمع سادکی ۲-بعدی است.
{v0}, {v1}, {v2},
{v0,v1}, {v1,v2}, {v0,v2},
{v0,v1,v2}
اما اگر فقط مثلث را بگیریم و یالها یا رأسهایش را در مجموعه نیاوریم،
دیگر با یک مجتمع سادکی روبهرو نیستیم.
۵. بُعد مجتمع سادکی
بُعد یک مجتمع سادکی برابر است با بیشترین بُعد سادکهای آن.
بنابراین:
- اگر بزرگترین سادک یک یال باشد، مجتمع ۱-بعدی است.
- اگر بزرگترین سادک یک مثلث باشد، مجتمع ۲-بعدی است.
- اگر بزرگترین سادک یک چهاروجهی باشد، مجتمع ۳-بعدی است.
۶. تحقق هندسی
هر مجتمع سادکی را میتوان به صورت یک فضای هندسی واقعی در نظر گرفت.
این فضا را تحقق هندسی مینامند.
در تحقق هندسی، سادکها مطابق وجوه مشترکشان به هم چسبانده میشوند.
به این ترتیب، مجتمع سادکی ابزاری ترکیبیاتی برای مطالعهی فضاهای توپولوژیکی فراهم میکند.
۷. اهمیت در توپولوژی جبری
مجتمعهای سادکی در توپولوژی جبری اهمیت زیادی دارند، زیرا بسیاری از فضاها را
میتوان به کمک آنها تقریب زد و سپس ناورداهایی مانند گروههای همولوژی و هموتوپی
را با روشهای ترکیبیاتی بررسی کرد.
در نتیجه، مجتمع سادکی ساختاری است که از سادکها تشکیل میشود و
با رعایت بستهبودن نسبت به وجوه و شرط اشتراک مناسب،
چارچوبی دقیق برای مطالعهی فضاهای هندسی و توپولوژیکی به دست میدهد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.