نگاشت سادکی
در هندسه جبری و توپولوژی جبری، مفهوم نگاشت سادکی (Simplicial Map)
پل ارتباطی میان ساختارهای ترکیبیاتیِ سادکها و نگاشتهای پیوسته میان فضاهای توپولوژیکی است.
سادکها (Simplices) بلوکهای سازندهی بنیادین هستند و نگاشتهای سادکی، ریختارهای
نگهدارندهی ساختار در ردهی مجموعههای سادکی به شمار میآیند.
۱. تعریف صوری
فرض کنید K و L دو مجموعهی سادکی باشند. یک نگاشت سادکی
f: K → L
مجموعهای از توابع است که هر n-سادک از
K را به یک n-سادک از L میفرستد،
بهطوریکه ساختار وجوه (Faces) و تحلیهها یا انحطاطها (Degeneracies) حفظ شود.
اگر Kn
مجموعهی n-سادکهای K باشد،
نگاشت f از توابع
fn: Kn → Ln
تشکیل میشود، بهگونهای که برای هر
n ≥ 0
و هر عملگر وجهی
∂i
و عملگر تحلیه
si،
نمودارهای زیر جابجاییپذیر باشند.
نمودار جابجایی برای عملگر وجهی
| Kn | → fn | Ln |
| ↓ ∂i | ↓ ∂i | |
| Kn-1 | → fn-1 | Ln-1 |
نمودار جابجایی برای عملگر تحلیه
| Kn | → fn | Ln |
| ↓ si | ↓ si | |
| Kn+1 | → fn+1 | Ln+1 |
به بیان دیگر، برای هر سادک x داریم:
f(∂ix) = ∂i(f(x))
f(six) = si(f(x))
۲. دیدگاه توپولوژیکی
از دیدگاه توپولوژی جبری، هر مجموعهی سادکی K دارای یک تحقق هندسی
است که معمولاً با
|K|
نشان داده میشود.
این تحقق هندسی یک فضای توپولوژیکی است.
اگر
f: K → L
یک نگاشت سادکی باشد، آنگاه به طور طبیعی یک نگاشت پیوسته
|f|: |K| → |L|
نیز القا میشود.
این نگاشت، هر سادک در K را به سادک متناظر در L میفرستد
و به دلیل سازگاری با وجوه و تحلیهها، بهخوبی تعریف شده است.
۳. نگاشت سادکی بین مجتمعهای سادکی
اگر K و L دو مجتمع سادکی باشند، یک نگاشت سادکی
در اصل نگاشتی میان مجموعهی رأسهای آنهاست:
V(K) → V(L)
بهطوریکه اگر
{v0, v1, ..., vn}
یک سادک در K باشد، آنگاه
{f(v0), f(v1), ..., f(vn)}
نیز باید یک سادک در L باشد.
نکتهی مهم این است که در این تعریف، ممکن است چند رأس متمایز در K
به یک رأس واحد در L فرستاده شوند. در نتیجه، بعد سادک میتواند کاهش پیدا کند.
۴. جایگاه در نظریه ردهها
در زبان نظریهی ردهها، ردهی مجموعههای سادکی را معمولاً با
sSet
نشان میدهند.
در این رده، نگاشتهای سادکی همان ریختارها هستند.
این نگاشتها در نظریهی هموتوپی نقش بسیار مهمی دارند، زیرا مفهوم هموتوپی سادکی
بر پایهی نگاشتهایی از نوع
K × Δ1 → L
تعریف میشود.
۵. مثال ساده
فرض کنید K یک پارهخط باشد؛ یعنی دو رأس و یک یال بین آنها داشته باشد،
و L فقط یک نقطه باشد.
در این صورت یک نگاشت سادکی
f: K → L
میتواند هر دو رأس و نیز یال را به همان نقطهی یگانه در L بفرستد.
این نگاشت همچنان سادکی است، زیرا رابطهی میان وجوه و تصاویر آنها حفظ میشود.
اگر بخواهید، در مرحلهی بعد میتوانم:
۱) همین متن را در قالب زیباتر و رسمیتر برای بلاگفا بازنویسی کنم،
۲) یا نسخهای بدهم که فرمولها با ظاهر آموزشیتر نمایش داده شوند،
۳) یا یک پست کامل بلاگفا با عنوان، مقدمه، جمعبندی و برچسبها آماده کنم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.