بررسی ریاضی و فیزیکی انتگرالهای میدان مغناطیسی
در الکترومغناطیس کلاسیک، رفتار میدان مغناطیسی B بر اساس آنالیز برداری توصیف میشود. دو انتگرال بسته مهم برای میدان مغناطیسی وجود دارد که هر کدام با یک قضیه ریاضی مشخص به مفاهیم فیزیکی مرتبط میشوند. در ادامه به تشریح علمی این دو حالت پرداخته میشود.
۱. انتگرال سطحی بسته و قضیه دیورژانس (قانون گاوس در مغناطیس)
انتگرال اول به صورت شار عبوری از یک سطح بسته تعریف میشود:
∮ B · dA
طبق قضیه دیورژانس (قضیه گاوس)، انتگرال شار یک میدان برداری روی یک سطح بسته S، برابر است با انتگرال دیورژانس آن میدان روی حجم محصور شده V توسط آن سطح:
∮S B · dA = ∫V (∇ · B) dV
از منظر فیزیکی، تکقطبی مغناطیسی منفرد در طبیعت وجود ندارد. به عبارت دیگر، خطوط میدان مغناطیسی همواره حلقههای بستهای تشکیل میدهند و دیورژانس میدان مغناطیسی همواره صفر است (∇ · B = 0). بنابراین، مقدار این انتگرال همواره برابر صفر خواهد بود:
∮S B · dA = 0
۲. انتگرال خطی بسته و قضیه استوکس (قانون آمپر-ماکسول)
انتگرال دوم به صورت گردش میدان مغناطیسی حول یک مسیر بسته یکبعدی C تعریف میشود:
∮ C · dl
طبق قضیه استوکس، انتگرال خطی یک میدان برداری روی مسیر بسته C، برابر است با انتگرال سطحی فرّور (کِرل) آن میدان روی سطح باز S که مرز آن را مسیر C تشکیل میدهد:
∮C B · dl = ∫S (∇ × B) · dA
با استفاده از قانون آمپر-ماکسول در فرم دیفرانسیلی، کِرل میدان مغناطیسی به صورت زیر تعریف میشود:
∇ × B = μ0 J + μ0 ε0 (∂E / ∂t)
با جایگذاری این رابطه در انتگرال سطحی حاصل از قضیه استوکس، فرم انتگرالی قانون آمپر-ماکسول به دست میآید که در آن Ienclosed جریان الکتریکی عبوری از سطح و ΦE شار الکتریکی است:
∮C B · dl = μ0 Ienclosed + μ0 ε0 (dΦE / dt)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.