ریاضیات

مبانی توپولوژی سادکی

۱. استقلال افین و مختصات باری‌سنتریک

مجموعه نقاط {v₀, v₁, ..., vₖ} در فضای ℝⁿ را «مستقل افین» می‌نامیم، هرگاه بردارهای (v₁ - v₀), (v₂ - v₀), ..., (vₖ - v₀) مستقل خطی باشند.
تحت این فرض، هر نقطه x در پوسته محدب این نقاط، به صورت یکتا به شکل زیر نمایش می‌پذیرد:

x = Σ λᵢvᵢ که در آن Σ λᵢ = 1 و λᵢ ≥ 0

ضرایب {λ₀, λ₁, ..., λₖ} را «مختصات باری‌سنتریک» نقطه x می‌نامیم.

۲. تعریف سادک (Simplex)

یک k-سادک که با نماد σ = [v₀, ..., vₖ] نمایش داده می‌شود، پوسته محدبِ مجموعه‌ای از نقاط مستقل افین است:

σ = { x ∈ ℝⁿ | x = Σ λᵢvᵢ, Σ λᵢ = 1, λᵢ ≥ 0 }

بُعد این سادک برابر با k است. برای مثال، 0-سادک یک نقطه، 1-سادک یک پاره‌خط، 2-سادک یک مثلث و 3-سادک یک چهاروجهی است.

۳. مجتمع سادکی هندسی (Geometric Simplicial Complex)

یک مجتمع سادکی K مجموعه‌ای از سادک‌هاست که دو شرط زیر را ارضا کند:

1. اگر σ ∈ K، آنگاه تمامی وجوهِ σ نیز در K قرار دارند.


2. اگر σ₁, σ₂ ∈ K، آنگاه اشتراک آن‌ها (σ₁ ∩ σ₂) یا تهی است و یا یک وجه مشترک از هر دو سادک می‌باشد.

تحقق هندسی مجتمع، که با |K| نمایش داده می‌شود، اجتماع تمام سادک‌های عضو K است:

|K| = ∪ { σ | σ ∈ K }

فضای |K| را یک «چندوجهی» (Polyhedron) می‌نامیم. بُعد مجتمع K برابر است با:

dim(K) = max { dim(σ) | σ ∈ K }

۴. زیرمجتمع و زوج سادکی

مجموعه L ⊆ K را یک «زیرمجتمع» می‌نامیم اگر L خود یک مجتمع سادکی باشد. یک «زوج سادکی» (K, L) متشکل از یک مجتمع K و یک زیرمجتمع L ⊆ K است که در توپولوژی جبری برای بررسی ساختارهای نسبی به کار می‌رود.

مثال

فرض کنید K مجموعه‌ای باشد که رئوس {v₀, v₁, v₂} و اضلاع {[v₀, v₁], [v₁, v₂], [v₀, v₂]} و وجه [v₀, v₁, v₂] را شامل شود. این یک 2-سادک است که در آن dim(K) = 2 می‌باشد. اگر فقط رئوس و اضلاع (بدون وجه داخلی) را در نظر بگیریم، یک زیرمجتمع 1-بعدی خواهیم داشت که مرزِ مثلث است.