ریاضیات

کلمه داده‌شده را می‌توان به شکل T² # P² (جمع همبند توروس و صفحه تصویر حقیقی) نوشت. بخش aba^-1b^-1 معرف یک توروس (T²) و بخش c² معرف یک کلاهک دهانه (P²) است.

جهت‌پذیری: به دلیل وجود ترم c² (توان‌های یکسان)، کل رویه ناجهت‌پذیر است.

مشخصه اویلر:

هر دو کلمه نمایش‌دهنده بطری کلاین هستند. کلمه اول فرم غیرمنفصل (abab) و کلمه دوم فرم نرمال استاندارد (a²b² = P² # P²) است. از آنجا که هر دو دارای مشخصه اویلر یکسان (χ = 0) و هر دو ناجهت‌پذیر هستند، طبق قضیه طبقه‌بندی رویه‌های بسته، با هم هومئومورف (معادل) می‌باشند.

برای رویه‌های جهت‌پذیر فرمول مشخصه اویلر عبارت است از:

از آنجا که هر دسته (توروس) به ۴ ضلع در چندضلعی نیاز دارد (a_ib_ia_i^-1b_i^-1)، یک رویه با جنس g دارای نمایش چندضلعی با تعداد 4g ضلع است. بنابراین برای g = 3 به یک ۱۲-ضلعی نیاز داریم.

این کلمه دارای ساختار متناوب جفت‌های مزدوج است. با اعمال برش و چسباندن، این کلمه را می‌توان به فرم استاندارد (a b a^-1 b^-1)(c d c^-1 d^-1) تبدیل کرد که معادل با جمع همبند دو توروس (T² # T²) یا همان «دو-توروس» (Double Torus) است. مشخصه اویلر آن نیز χ = -2 می‌باشد.

خیر، برای هیچ رویه بسته و بدون مرزی مشخصه اویلر بزرگتر از ۲ وجود ندارد. ماکزیمم مقدار مشخصه اویلر مربوط به کره (S²) است که در آن χ = 2. برای سطوح جهت‌پذیر χ = 2 - 2g و برای ناجهت‌پذیرها χ = 2 - k است. از آنجا که جنس g ≥ 0 و تعداد کلاهک‌های دهانه k ≥ 1 اعدادی صحیح و نامنفی هستند، مقدار χ هرگز نمی‌تواند از ۲ بیشتر شود.

رویه مورد نظر P² # P² # P² (یا همان بطری کلاین جمع همبند با صفحه تصویر) است که ناجهت‌پذیر بوده و دارای k = 3 است. بنابراین مشخصه اویلر آن برابر است با:

از طرفی می‌دانیم در نمایش چندضلعی، تعداد وجه‌ها همیشه برابر با ۱ است (F = 1). تعداد یال‌های متمایز پس از شناسایی، برابر با تعداد حروف متمایز کلمه است (E = 3 یعنی یال‌های a، b و c).

با استفاده از فرمول اویلر داریم:

بنابراین تمام ۶ رأس چندضلعی اولیه پس از چسباندن به یک رأس واحد تبدیل می‌شوند.

طبق قضیه دایک (Dyck's Theorem)، اگر یک رویه حداقل یک کلاهک دهانه (ناجهت‌پذیری) داشته باشد، افزودن یک دسته (توروس) به آن معادل با افزودن دو کلاهک دهانه (صفحه تصویر) است. رابطه ریاضی به صورت زیر است:

بنابراین، جمع همبند بطری کلاین (K ≅ P² # P²) با توروس (T²) هومئومورف است با جمع همبند ۴ صفحه تصویر حقیقی (4P²).

این کلمه دارای n جفت یال هم‌جهت است که به صورت x_i² در کنار هم قرار گرفته‌اند. هر کدام از این جفت‌ها نشان‌دهنده یک کلاهک دهانه (P²) است. بنابراین این رویه حاصل جمع همبند n کلاهک دهانه است:

خیر. برای هر رویه جهت‌پذیر و بسته M، مشخصه اویلر فرمول χ(M) = 2 - 2g را دارد. از آنجا که جنس رویه (g) یک عدد صحیح است، مقدار 2 - 2g همواره زوج خواهد بود. از آنجا که ۵- عددی فرد است، این رویه قطعاً نمی‌تواند جهت‌پذیر باشد و حتماً یک رویه ناجهت‌پذیر با ۷ کلاهک دهانه (k = 7 ⇒ χ = 2 - 7 = -5) است.

برای اینکه رویه جهت‌پذیر باشد و مشخصه اویلر آن χ = -2 شود، باید جنس آن را از فرمول زیر به دست آوریم:

یک رویه جهت‌پذیر با جنس g = 2 همان دو-توروس (T² # T²) است. کلمه استاندارد ۸-ضلعی آن به صورت زیر نوشته می‌شود: