ریاضیات

مثال کاربردی ترکیبی از مکانیک: دو جرم و یک فنر رابط

یک مثال ترکیبی و بسیار ملموس در مکانیک، دو جرم متصل به یکدیگر با فنر است.

فرض کنید دو بلوک با جرم‌های

m₁

و

m₂

داریم که هر کدام روی سطحی بدون اصطکاک قرار دارند و یک فنر با ثابت

k

آن‌ها را به هم وصل کرده است.

این اتصال، از نظر شهودی شبیه یک گلوگاه یا ناحیه‌ی پیوند میان دو سامانه‌ی مستقل است.

اگر هر جرم را به‌صورت یک ناحیه‌ی مجزا در نظر بگیریم، اتصال آن‌ها توسط فنر را می‌توان به‌صورت نمادین

شبیه یک جمع همبند تصور کرد:

انرژی مکانیکی کل

انرژی کل سامانه از مجموع انرژی‌های جنبشی دو جرم و انرژی پتانسیل فنر به دست می‌آید:

در اینجا

x

میزان کشیدگی یا فشردگی فنر را نشان می‌دهد.

این جمله‌ی فنری همان بخشی است که دو جرم را به یک کل یکپارچه تبدیل می‌کند.

معادلات حرکت

اگر جابجایی دو جرم را نسبت به حالت تعادل با

x₁(t)

و

x₂(t)

بنویسیم، نیروی فنر باعث می‌شود دو معادله‌ی کوپل‌شده زیر به‌دست آید:

این دو معادله نشان می‌دهند که حرکت هر جرم فقط به خودش وابسته نیست، بلکه به وضعیت جرم دیگر نیز وابسته است.

در نتیجه، سامانه‌ی جدید یک سیستم جفت‌شده است؛ درست مانند دو فضا که با یک گردن مشترک به هم وصل شده‌اند.

مودهای نوسان

این سامانه دو حالت اصلی دارد:

۱. مود هم‌فاز که در آن هر دو جرم تقریباً با هم حرکت می‌کنند.

۲. مود پادفاز که در آن یکی به سمت راست و دیگری به سمت چپ نوسان می‌کند.

از دید توپولوژیک و شهودی، فنر رابط همان بخش اتصال است که اجازه می‌دهد اطلاعات مکانیکی

(یعنی نیرو و جابجایی) از یک بخش به بخش دیگر منتقل شود.