منیفلدهای جهتپذیر و جهتناپذیر
در توپولوژی و هندسهٔ دیفرانسیل، جهتپذیری یکی از ویژگیهای مهم منیفلدهاست.
یک منیفلد را جهتپذیر مینامیم اگر بتوان روی آن یک جهتگذاری سراسری و سازگار تعریف کرد.
تعریف دقیق
فرض کنید M یک منیفلد همبند باشد. اگر بتوان آتلاسی برای آن انتخاب کرد بهطوریکه
روی نواحی همپوشان، تبدیلهای مختصات جهت را حفظ کنند، آنگاه M جهتپذیر است.
det D(φj ˆ φi−1) > 0
اگر چنین آتلاسی وجود نداشته باشد، منیفلد جهتناپذیر است.
مثالهای منیفلد جهتپذیر
- فضای اقلیدسی Rn
- کره Sn
- توروس Tn
- هر منیفلد همبندِ قابلجهتگذاری
مثالهای منیفلد جهتناپذیر
- نوار موبیوس
- صفحهٔ پروژکتیو حقیقی RP2
- جمع وصل یک سطح جهتپذیر با RP2
- جمعهای وصل چندگانه از RP2
مثال کاربردی: نوار موبیوس
نوار موبیوس مشهورترین مثالِ یک سطح جهتناپذیر است.
آن را از یک نوار مستطیلی میسازیم که دو سرِ آن را پس از یک نیمچرخش به هم میچسبانیم.
(x,0) ∼ (1-x,1)
اگر روی سطح نوار موبیوس حرکت کنیم و یک دور کامل بزنیم، جهتِ عمود بر سطح برمیگردد.
یعنی نمیتوان در سراسر آن یک جهتگذاریِ پیوسته و سازگار تعریف کرد.
مثال کاربردی دیگر: کره
در مقابل، کرهٔ S2 جهتپذیر است.
برای هر نقطه روی کره میتوان یک بردار نرمال بیرونی انتخاب کرد و این انتخاب را بهطور پیوسته در سراسر کره حفظ کرد.
n(p) = p
در اینجا n(p) بردار نرمالِ نقطهٔ p روی کره است.
چون این بردار بهصورت سراسری و بدون تناقض تعریف میشود، کره جهتپذیر است.
خلاصهٔ شهودی
در منیفلد جهتپذیر، میتوان یک جهت را در همهجا بهطور پیوسته نگه داشت.
اما در منیفلد جهتناپذیر، مانند نوار موبیوس، حرکت روی یک مسیر بسته میتواند جهت را برگرداند.
همین ویژگی مانع از تعریف جهتگذاری سراسری میشود.
─────────────────────────
موضوع: توپولوژی و هندسهٔ دیفرانسیل
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.