```html
مثالهای فرمال و ریاضی از مفهوم «چارت»
۱. خط تصویری حقیقی (RP^1)
فضای تصویری حقیقی ۱-بعدی، به عنوان مجموعهی تمام خطوط گذرنده از مبدأ در فضای R^2 تعریف میشود. این منیفلد با یک چارت واحد قابل پوشش نیست و نیاز به حداقل دو چارت دارد. دو چارت (U1, φ1) و (U2, φ2) را به صورت زیر تعریف میکنیم:
U1 = { [x:y] ∈ RP^1 | x ≠ 0 } , φ1([x:y]) = y/x
U2 = { [x:y] ∈ RP^1 | y ≠ 0 } , φ2([x:y]) = x/y
در ناحیه اشتراک (Overlap)، یعنی جایی که x ≠ 0 و y ≠ 0، نگاشت انتقال (Transition Map) به صورت زیر به دست میآید:
φ2 ∘ φ1^(-1)(t) = 1/t
از آنجا که تابع f(t) = 1/t برای تمامی t ≠ 0 هموار (C^∞) است، این فضا یک ساختارِ منیفلدِ مشتقپذیر را به ارث میبرد.
۲. نمودار یک تابع هموار (Graph of a Smooth Function)
فرض کنید تابع f: R^n → R یک تابع هموار (C^∞) باشد. مجموعه نقاط G = { (x, f(x)) | x ∈ R^n } یک زیرمنیفلد n-بعدی از فضای R^(n+1) است.
چارتِ «متعارف» (Canonical Chart) برای این منیفلد به صورت نگاشت تصویر (Projection) تعریف میشود:
φ(x, f(x)) = x
ψ(x) = (x, f(x)) // نگاشت معکوس
در اینجا، همواریِ تابع f تضمین میکند که نگاشتِ چارت و معکوسِ آن، هر دو مشتقپذیر باشند؛ لذا نمودار هر تابع هموار، ذاتاً یک منیفلد است.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.