توسط علی رضا نقش نیلچی
| شنبه بیست و هفتم تیر ۱۴۰۵ | 12:49
نمونهامتحان ۲۰ نمرهای: مثلثبندی سطوح و مشخصهٔ اویلر
درس: توپولوژی / سطوح
موضوع: مثلثبندی سطوح و مشخصهٔ اویلر
زمان پیشنهادی: 45 تا 60 دقیقه
نمره کل: 20
سؤالات
سؤال 1 (2 نمره):
مشخصهٔ اویلر را تعریف کنید و فرمول آن را بنویسید. همچنین توضیح دهید چرا این کمیت در توپولوژی مهم است.
سؤال 2 (2 نمره):
در یک سطح مثلثبندیشده داریم
V=8،E=18 وF=12.مشخصهٔ اویلر را محاسبه کنید.
سؤال 3 (2 نمره):
توضیح دهید چرا در یک سطح بستهٔ مثلثبندیشده رابطهٔ
3F = 2Eبرقرار است.
سؤال 4 (2 نمره):
چرا این رابطه در سطوح مرزدار، مانند نوار موبیوس، لزوماً به همان صورت ساده برقرار نیست؟
سؤال 5 (2 نمره):
نوار موبیوس را از نظر ویژگیهای زیر توصیف کنید:
مرز، بسته بودن، توجیهپذیری، و مشخصهٔ اویلر.
سؤال 6 (2 نمره):
اگر در یک مثلثبندی از نوار موبیوس داشته باشیم
V=6،E=12 وF=6،مقدار
χ را محاسبه کنید و نتیجه را تفسیر نمایید.
سؤال 7 (2 نمره):
بطری کلاین را تعریف کنید و توضیح دهید چگونه از شناسایی ضلعهای یک مستطیل ساخته میشود.
سؤال 8 (3 نمره):
در یک مدل مثلثبندی از بطری کلاین داریم
V=9،E=27 وF=18.الف) مشخصهٔ اویلر را حساب کنید.
ب) نشان دهید که رابطهٔ
3F = 2Eبرقرار است.
سؤال 9 (2 نمره):
صفحهٔ تصویری حقیقی
RP2را تعریف کنید و بگویید از نظر مرز و توجیهپذیری چه وضعی دارد.
سؤال 10 (3 نمره):
برای
RP2در یک مثلثبندی استاندارد داریم
V=6،E=15 وF=10.الف)
χ را حساب کنید.ب) توضیح دهید چرا داشتن
χ=1آن را از نوار موبیوس و بطری کلاین متمایز میکند.
پاسخنامه
پاسخ سؤال 1:
مشخصهٔ اویلر برای یک سطح مثلثبندیشده از رابطهٔ
χ = V - E + Fبهدست میآید. این کمیت مهم است چون یک ناوردای توپولوژیک است و در شناسایی و مقایسهٔ سطوح بهکار میرود.
پاسخ سؤال 2:
χ = 8 - 18 + 12 = 2
پس مشخصهٔ اویلر برابر
2 است.
پاسخ سؤال 3:
هر مثلث 3 یال دارد، پس مجموع یالهای شمردهشده در همهٔ مثلثها برابر
3Fاست. از طرف دیگر، در سطح بسته هر یال دقیقاً بین دو مثلث مشترک است، پس همین شمارش برابر
2Eمیشود. بنابراین:
3F = 2E
پاسخ سؤال 4:
چون در سطح مرزدار بعضی یالها مرزی هستند و فقط در یک مثلث ظاهر میشوند، نه در دو مثلث. پس استدلال سطح بسته بدون اصلاح، در اینجا قابل اعمال نیست.
پاسخ سؤال 5:
نوار موبیوس:
ـ مرز دارد
ـ بسته نیست
ـ ناتوجیهپذیر است
ـ مشخصهٔ اویلر آن در مدل مطرحشده
0است
پاسخ سؤال 6:
χ = 6 - 12 + 6 = 0
نتیجه: نوار موبیوس در این مثلثبندی مشخصهٔ اویلر صفر دارد. همچنین این سطح ناتوجیهپذیر و مرزدار است.
پاسخ سؤال 7:
بطری کلاین سطحی بسته و ناتوجیهپذیر است. این سطح از یک مستطیل ساخته میشود که در آن یک جفت ضلع مقابل بدون وارونگی و جفت دیگر با وارونگی به هم شناسایی میشوند.
پاسخ سؤال 8:
الف)
χ = 9 - 27 + 18 = 0
ب)
3F = 3(18) = 54
2E = 2(27) = 54
3F = 2E
پاسخ سؤال 9:
صفحهٔ تصویری حقیقی
RP2سطحی بسته، بدون مرز و ناتوجیهپذیر است. میتوان آن را بهصورت دیسکی در نظر گرفت که نقاط مقابل روی مرزش با هم شناسایی میشوند.
پاسخ سؤال 10:
الف)
χ = 6 - 15 + 10 = 1
ب) نوار موبیوس و بطری کلاین هر دو
χ=0دارند، اما
RP2دارای
χ=1است. بنابراین از نظر توپولوژیک با آن دو متفاوت است و در ردهٔ دیگری از سطوح قرار میگیرد.
بارمبندی پیشنهادی
| شماره سؤال | نمره |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2 |
| 6 | 2 |
| 7 | 2 |
| 8 | 3 |
| 9 | 2 |
| 10 | 3 |
| جمع | 20 |
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.