استدلال دیگر برای شرط صعودی زنجیرهای در Z
یک راه دیگر برای اثبات این مطلب که گروه
Z
شرط صعودی زنجیرهای دارد، استفاده از دوری بودن این گروه و شکل زیرگروههای آن است.
میدانیم
Z = <1>
،
پس Z یک گروه دوری است.
همچنین هر زیرگروه یک گروه دوری، خودش نیز دوری است.
بنابراین هر زیرگروه از
Z
به صورت
nZ =
برای یک عدد طبیعی
n
نوشته میشود.
اکنون فرض کنید زنجیرهای صعودی از زیرگروههای
Z
داشته باشیم:
H1 ⊂ H2 ⊂ H3 ⊂ ...
چون هر زیرگروه از
Z
به شکل
nZ
است، میتوان نوشت:
Hi = niZ
در نتیجه از رابطهٔ
Hi ⊂ Hi+1
داریم:
niZ ⊂ ni+1Z
و این معادل است با اینکه
ni+1
مقسومعلیهِ
ni
باشد؛ یعنی:
ni+1 | ni
از آنجا که شمولها سره هستند، پس
ni+1 ≠ ni
و بنابراین:
n1 > n2 > n3 > ...
پس از زنجیرهٔ صعودی زیرگروهها، یک زنجیرهٔ نزولیِ حقیقی از اعداد طبیعی به دست میآید.
اما میدانیم در مجموعهٔ اعداد طبیعی، زنجیرهٔ نزولیِ نامتناهی وجود ندارد.
بنابراین چنین زنجیرهٔ صعودیِ نامتناهی از زیرگروههای
Z
نیز نمیتواند وجود داشته باشد.
پس نتیجه میگیریم که هر زنجیرهٔ صعودی از زیرگروههای
Z
در نهایت ثابت میشود؛
یعنی گروه
Z
دارای شرط صعودی زنجیرهای
(ACC)
است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.