ریاضیات

ساختار گروه‌های ساده و زیرگروه‌های ماکسیمال

در بررسی ساختار گروه‌ها، یکی از مفاهیم بنیادین، مفهوم گروه ساده (Simple Group) است. یک گروه G ساده نامیده می‌شود اگر هیچ زیرگروه نرمال غیربدیهی نداشته باشد. به عبارت دقیق‌تر، G ساده است اگر برای هر زیرگروه N که نرمالِ G باشد، الزماً N برابر {1} یا N برابر G باشد.

ویژگی‌های زیرگروه‌های ماکسیمال

زیرگروه M را ماکسیمال می‌نامیم اگر هیچ زیرگروه محض دیگری بین M و G قرار نداشته باشد. این زیرگروه‌ها در تحلیل گروه‌های ساده دارای ویژگی‌های زیر هستند:

۱. نرمال‌ساز زیرگروه ماکسیمال:

نرمال‌ساز M در G، همواره برابر با خود M است:

N_G(M) = M

۲. اشتراک با مزدوج‌ها:

اشتراک M با هر مزدوجِ متمایز از خود (M^g) و همچنین اشتراک دو زیرگروه ماکسیمال متمایز، برابر با عضو واحد (1) است:

M ∩ M^g = 1 (برای هر g که در M نباشد)

M1 ∩ M2 = 1

۳. شمارش و اجتماع مزدوج‌ها:

تعداد عناصری که در اجتماع تمامی مزدوج‌های M قرار نمی‌گیرند، با استفاده از مرتبه گروه (n) و مرتبه زیرگروه (m) به صورت زیر محاسبه می‌شود:

(n / m) - 1 = | G \ ∪ در M^g |