ریاضیات

سوال

از اینکه کره‌ی Sⁿ یک منیفلد هموار است، چه نتایجی به دست می‌آید؟

جواب

1. کره‌ی Sⁿ یک فضای توپولوژیک منظم و خوب‌رفتار است.
2. هر نقطه از کره یک همسایگی شبیه Rⁿ دارد.
3. می‌توان روی کره دستگاه مختصات محلی تعریف کرد.
4. دو چارت اصلی با حذف دو قطب به دست می‌آیند.
5. تصویرسازی استریوگرافیک ابزار اصلی ساخت این چارت‌ها است.
6. این چارت‌ها کل کره را پوشش می‌دهند.
7. تبدیل مختصات بین دو چارت هموار است.
8. پس کره دارای یک اطلس هموار است.
9. بنابراین Sⁿ یک منیفلد هموار n بعدی است.
10. می‌توان روی کره مشتق‌پذیری توابع را تعریف کرد.
11. می‌توان روی کره حساب دیفرانسیل انجام داد.
12. می‌توان روی کره مسیرها و منحنی‌ها را بررسی کرد.
13. می‌توان میدان‌های برداری را روی کره تعریف کرد.
14. می‌توان فرم‌های دیفرانسیل را روی کره نوشت.
15. می‌توان روی کره انتگرال‌گیری کرد.
16. این ساختار برای هندسه دیفرانسیل بسیار مهم است.
17. این نتیجه پایه‌ای برای مطالعه‌ی منیفلدهای هموار است.
18. در فیزیک ریاضی برای مدل‌سازی فضاهای کروی کاربرد دارد.
19. در توپولوژی برای شناخت ساختار کره‌ها استفاده می‌شود.
20. این روش نشان می‌دهد که فضاهای خمیده هم می‌توانند محلی شبیه فضای اقلیدسی باشند.