ریاضیات

سوال

چرا کره‌ی Sⁿ یک منیفلد هموار است؟

جواب

کره‌ی n بعدی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:


Sⁿ = { x = (x₁, ..., x_n+1) in Rⁿ⁺¹ : ||x|| = 1 }

دو قطب را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:


N = (0, ..., 0, 1)


S = (0, ..., 0, -1)

حالا دو مجموعه‌ی باز زیر را در نظر می‌گیریم:


U_N = Sⁿ \ {N}


U_S = Sⁿ \ {S}

این دو مجموعه، کل کره را پوشش می‌دهند:


Sⁿ = U_N ∪ U_S

روی U_N تصویرسازی استریوگرافیک را تعریف می‌کنیم:


φ_N(x) = ( x₁/(1 - x_n+1), ..., x_n/(1 - x_n+1) )

به طور مشابه روی U_S نیز داریم:


φ_S(x) = ( x₁/(1 + x_n+1), ..., x_n/(1 + x_n+1) )

هر دو نگاشت بالا یک‌به‌یک و پوشا هستند و معکوس‌های صریح و هموار دارند. پس هر کدام یک چارت برای کره می‌سازند.

همچنین روی ناحیه‌ی هم‌پوشانی، تبدیل مختصات به صورت


φ_S ∘ φ_N^-1(u) = u / ||u||²


است که روی Rⁿ \ {0} هموار است.

بنابراین این دو چارت یک اطلس هموار برای Sⁿ می‌سازند. پس:


Sⁿ یک منیفلد هموار n بعدی است.