ریاضیات

سوال ۱ (تعریف): در نظریه اختلال، منظور از هامیلتونی پایه ($H_0$) و هامیلتونی اختلالی ($H'$) چیست؟

پاسخ:

• $H_0$ (هامیلتونی پایه): هامیلتونی سیستمی است که حل دقیق آن (مقادیر ویژه انرژی و توابع ویژه) مشخص است. این هامیلتونی معمولاً ساده‌تر است.
• $H'$ (هامیلتونی اختلالی): بخشی از هامیلتونی کل سیستم است که نسبت به $H_0$ کوچک در نظر گرفته می‌شود. این بخش، اثر پدیده‌هایی مانند پتانسیل‌های خارجی، برهم‌کنش ذرات، یا اصلاحات نسبیتی را مدل می‌کند.

سوال ۲ (فرمول انرژی): فرمول کلی محاسبه انرژی مرتبه اول ($E_n^{(1)}$) برای حالت $n$ در نظریه اختلال مستقل از زمان چیست؟

پاسخ:

که در آن $| \Phi_n^{(0)} \rangle$ تابع ویژه مربوط به هامیلتونی پایه $H_0$ برای تراز انرژی $E_n^{(0)}$ است.

سوال ۳ (مفهوم میانگین‌گیری): چرا برای محاسبه $E_n^{(1)}$ از مقدار انتظاریِ $H'$ در حالت $| \Phi_n^{(0)} \rangle$ استفاده می‌کنیم؟

پاسخ:

• این میانگین‌گیری نشان می‌دهد که اختلال $H'$، به طور متوسط، چه انرژی‌ای را به حالت پایه $| \Phi_n^{(0)} \rangle$ اضافه می‌کند.
• از آنجایی که $| \Phi_n^{(0)} \rangle$ تابع ویژه $H_0$ است، این عبارت به طور خاص نشان‌دهنده اثر $H'$ بر روی انرژیِ آن حالتِ خاص است، نه بر روی کل سیستم.

سوال ۴ (محاسبات تصویر): در تصویر ارسالی، عبارت $\langle \Phi | (H_0 - V)^r | \Phi \rangle$ به چه منظوری محاسبه می‌شود؟

پاسخ:

• این عبارت احتمالاً بخشی از محاسبه اصلاحات مرتبه بالاتر انرژی (مثلاً مرتبه دوم یا بالاتر) است.
• بسط دادن توان‌های $(H_0 - V)$ منجر به جملات مختلفی می‌شود که اثرات پیچیده‌تر اختلال را نشان می‌دهند و نیازمند استفاده از توابع ویژه $H_0$ هستند.

سوال ۵ (کاربرد): کاربرد اصلی نظریه اختلال در فیزیک چیست؟

پاسخ:

• حل تقریبی مسئله کوانتومی پیچیده‌ای که هامیلتونی آن را نمی‌توان به صورت دقیق حل کرد، با تبدیل آن به مسئله‌ای ساده‌تر (هامیلتونی پایه $H_0$) به علاوه یک بخش کوچک (اختلال $H'$).
• محاسبه اثرات پدیده‌هایی مانند اثر اشعه (Stark effect)، اثر زیمن (Zeeman effect)، یا اصلاحات کوانتومی ذرات بنیادی.