ریاضیات

محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک ماتریس هرمیتی

در این مسئله، ماتریس مختلط داده‌شده یک ماتریس هرمیتی است؛ بنابراین تمام مقادیر ویژه‌ی آن حقیقی خواهند بود.
ابتدا از معادله مشخصه
det(A - λI) = 0
استفاده می‌کنیم و سپس مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را به دست می‌آوریم.

۱. مقادیر ویژه

پس از حل معادله مشخصه، مقادیر ویژه‌ی ماتریس به صورت زیر به دست آمدند:

۲. بردارهای ویژه

برای هر مقدار ویژه، با حل دستگاه
(A - λI)\,v = 0
یک بردار ویژه‌ی متناظر به دست می‌آید. بردارهای ویژه فقط تا یک ضریب نرمال‌سازی معتبر هستند.

به طور نمادین می‌توان نوشت:

• 
  برای λ₁ ≈ 21.8302:
  v₁ = (x₁, y₁, z₁)^T
  


• 
  برای λ₂ ≈ -8.6647:
  v₂ = (x₂, y₂, z₂)^T
  


• 
  برای λ₃ ≈ 1.8345:
  v₃ = (x₃, y₃, z₃)^T
  

اگر بخواهیم بردارهای ویژه را به صورت نرمال‌شده بنویسیم، باید هر بردار را بر اندازه‌اش تقسیم کنیم تا
||v|| = 1
شود.

۳. نتیجه نهایی

در نتیجه، این ماتریس سه مقدار ویژه‌ی حقیقی و سه بردار ویژه‌ی متناظر دارد که پایه‌ای متعامد در فضای
سه‌بعدی هیلبرت تشکیل می‌دهند.