تجزیه عبارات متقارن دو متغیره
۱) تعریف عبارت متقارن دو متغیره
چندجملهای از دو متغیر x و y را متقارن مینامند هرگاه با تبدیل x به y و y به x، عبارت هیچ تغییری نکند.
دو معرفی یا متغیر کمکی پایه را به صورت زیر تعریف میکنیم:
σ1 = x + y
σ2 = xy
همچنین مجموع توانهای مشابه x و y (که به آن گشتاور مرتبه nام نیز میگویند) را به صورت زیر نشان میدهیم:
sn = xn + yn
۲) قضیه و رابطه بازگشتی
قضیه: هر مجموعه قوای مشابهی به صورت sn = xn + yn را میتوان به صورت چندجملهای از σ1 و σ2 نوشت.
برهان (رابطه بازگشتی):
طرفین تساوی sn-1 = xn-1 + yn-1 را در σ1 = x + y ضرب میکنیم:
σ1 sn-1 = (x + y)(xn-1 + yn-1)
σ1 sn-1 = xn + xyn-1 + xn-1y + yn
σ1 sn-1 = (xn + yn) + xy(xn-2 + yn-2)
σ1 sn-1 = sn + σ2 sn-2
بنابراین رابطه بازگشتی زیر به دست میآید که به روش استقراء حکم را ثابت میکند:
sn = σ1 sn-1 - σ2 sn-2
۳) روابط کاربردی برای توانهای ۱ تا ۶
با استفاده از رابطه بازگشتی بالا، فرمول بسط داده شده مجموع توانهای متقارن به صورت زیر به دست میآید:
| مجموع توانها (sn) | معادل بر حسب σ1 و σ2 |
|---|---|
| s1 (توان ۱) | σ1 |
| s2 (توان ۲) | σ12 - 2σ2 |
| s3 (توان ۳) | σ13 - 3σ1σ2 |
| s4 (توان ۴) | σ14 - 4σ12σ2 + 2σ22 |
| s5 (توان ۵) | σ15 - 5σ13σ2 + 5σ1σ22 |
| s6 (توان ۶) | σ16 - 6σ14σ2 + 9σ12σ22 - 2σ23 |
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.