آموزش گامبهگام: حل معادله درجه سوم با تغییر متغیر
در مباحث جبری، یکی از روشهای قدرتمند برای سادهسازی معادلات درجه سوم، حذف جملهی توان دوم (x2) است. این کار با تغییر متغیر y = x + b/a انجام میشود.
مثال عددی کامل
فرض کنید میخواهیم معادله زیر را حل کنیم:
x3 - 3x2 + 4 = 0
گام ۱: مشخص کردن ضرایب
معادله ما از فرم کلی ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0 است. با مقایسه، داریم:
a = 1
3b = -3 → b = -1
3c = 0 → c = 0
d = 4
گام ۲: انتخاب تغییر متغیر
طبق فرمول، باید x = y - b/a قرار دهیم (چون b منفی است، میشود y + 1):
x = y + 1
گام ۳: جایگذاری در معادله اصلی
به جای x مقدار (y + 1) را قرار میدهیم:
(y + 1)3 - 3(y + 1)2 + 4 = 0
گام ۴: بسط دادن عبارات
(y3 + 3y2 + 3y + 1) - 3(y2 + 2y + 1) + 4 = 0
y3 + 3y2 + 3y + 1 - 3y2 - 6y - 3 + 4 = 0
گام ۵: سادهسازی نهایی
مشاهده میکنید که جملات y2 همدیگر را حذف میکنند:
y3 - 3y + 2 = 0
نتیجه: اکنون معادله ما به شکل "مکعب فرورفته" (Depressed Cubic) درآمده است. این معادله بدون جملهی توان دوم است و حل آن بسیار سادهتر از معادله اصلی میباشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.