توسط علی رضا نقش نیلچی
| سه شنبه شانزدهم تیر ۱۴۰۵ | 17:36
حججل معادلات درجه سوم
تجزیه عبارت zn + 1 و حل معادلات درجه سوم
در ادامه مباحث جبر پیشرفته، به بررسی ساختار ریشهها و تغییر متغیرهای استراتژیک میپردازیم.
۱) تجزیه عبارت zn + 1
ریشههای این معادله به صورت زیر تعریف میشوند:
z = cos((2k+1)π / n) + i sin((2k+1)π / n)
k = 0, 1, ..., n-1
حالت اول: n عدد زوج باشد
zn + 1 = Πk=0(n-2)/2 (z2 - 2z cos((2k+1)π/n) + 1)
حالت دوم: n عدد فرد باشد
zn + 1 = (z + 1) Πk=0(n-3)/2 (z2 - 2z cos((2k+1)π/n) + 1)
۲) روش تغییر متغیر در معادله درجه سوم
شکل کلی معادله درجه سوم را به صورت زیر در نظر میگیریم (معادله I):
ax3 + 3bx2 + 3cx + d = 0
با جایگذاری متغیر جدید y = x + b/a، جملهی توان دوم حذف شده و معادله به فرم ساده زیر (معادله II) تبدیل میشود:
y3 + (3H/a2)y + G/a3 = 0
که در آن مقادیر H و G عبارتند از:
- H = ac - b2
- G = a2d - 3abc + 2b3
نکته علمی: این تغییر متغیر در واقع نوعی انتقال (Translation) در صفحه مختصات است که باعث میشود مجموع ریشههای معادله جدید برابر صفر شود، و به تبع آن جملهی درجه دوم حذف گردد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.