ریاضیات

(۴) ریشه‌های nام واحد

جواب‌های z^n = 1 که در آن n هر عدد درست مثبت است،

ریشه‌های nام واحد نامیده می‌شوند. این ریشه‌ها به‌وسیله رابطه زیر مشخص می‌شوند:

z = cos((2kπ)/n) + i sin((2kπ)/n) , k = 0, 1, 2, ..., n-1

اگر قرار دهیم:

w = cos((2π)/n) + i sin((2π)/n)

به‌سهولت معلوم می‌گردد که n ریشه واحد عبارتند از:

1, w, w^2, ..., w^(n-1)

۴-۱) ریشه‌های سوم مختلط واحد

این ریشه‌ها، ریشه‌های معادله Z^2 + Z + 1 = 0 بوده و مقادیر آن عبارت است از:

z = 1/2 (-1 ± i√3) = cos(2π/3) ± i sin(2π/3)

چنانچه w یکی از این ریشه‌ها باشد، تجزیه کنید:

1. z^2 - y^2 = (x-y)(x-wy)(x-w^2y)

2. x^3 + y^3 = (x+y)(x+wy)(x+w^2y)

3. x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x+wy+w^2z)(x+w^2y+wz)