توسط علی رضا نقش نیلچی
| سه شنبه نهم تیر ۱۴۰۵ | 20:6
مثال: ذره در جعبه چهار بعدی
فرض کنید ذرهای با جرم μ در یک جعبه چهار بعدی با طول ضلع L حرکت میکند.
مختصات سیستم به صورت زیر است:
(x , y , z , w)
پتانسیل جعبه به صورت زیر تعریف میشود:
V(x,y,z,w) = 0
0 < x,y,z,w < L
V(x,y,z,w) = ∞
otherwise
مرحله 1 : معادله شرودینگر
-(ħ² / 2μ)
(
∂²ψ/∂x² +
∂²ψ/∂y² +
∂²ψ/∂z² +
∂²ψ/∂w²
)
= Eψ
مرحله 2 : جداسازی متغیرها
تابع موج را به صورت حاصل ضرب چهار تابع در نظر میگیریم:
ψ(x,y,z,w)
=
X(x)Y(y)Z(z)W(w)
هر کدام از این توابع معادلهای مشابه ذره در جعبه یکبعدی دارند.
مرحله 3 : حل معادله در هر بعد
X(x) = √(2/L) sin(nxπx/L)
Y(y) = √(2/L) sin(nyπy/L)
Z(z) = √(2/L) sin(nzπz/L)
W(w) = √(2/L) sin(nwπw/L)
اعداد کوانتومی:
nx , ny , nz , nw = 1,2,3,...
مرحله 4 : تابع موج کلی
ψ =
(2/L)²
sin(nxπx/L)
sin(nyπy/L)
sin(nzπz/L)
sin(nwπw/L)
مرحله 5 : انرژیهای مجاز
E =
(ħ²π² / 2μL²)
(nx² + ny² + nz² + nw²)
مرحله 6 : حالت پایه
nx = ny = nz = nw = 1
E₀ =
(4ħ²π²)/(2μL²)
مرحله 7 : اولین حالتهای برانگیخته
با تغییر یکی از اعداد کوانتومی:
(2,1,1,1)
(1,2,1,1)
(1,1,2,1)
(1,1,1,2)
این چهار حالت دارای انرژی یکسان هستند و بنابراین تبهگن میباشند.
نتیجه فیزیکی
با افزایش تعداد ابعاد، تعداد حالتهای تبهگن افزایش مییابد.
این نوع مدلها در فیزیک آماری، نظریه میدان و فیزیک ابعاد بالاتر
مورد استفاده قرار میگیرند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.