ریاضیات

حل مسئله ذره در جعبه سه بعدی در حضور میدان الکتریکی و مغناطیسی

صورت مسئله

فرض کنید:

• n : رقم یکان شماره دانشجویی (اگر صفر باشد مقدار 1 در نظر گرفته می‌شود)


• m : رقم دهگان شماره دانشجویی (اگر صفر باشد مقدار 1 در نظر گرفته می‌شود)

ذره‌ای در یک جعبه سه بعدی با طول ضلع n قرار دارد. یک میدان الکتریکی ثابت
به بزرگی m در راستای x و یک میدان مغناطیسی ثابت با جهت دلخواه به سیستم اعمال شده است.

الف) نوشتن معادله شرودینگر

برای نوشتن معادله شرودینگر در حضور میدان‌های الکترومغناطیسی از پتانسیل
الکتریکی و پتانسیل برداری استفاده می‌کنیم.

۱) پتانسیل الکتریکی

چون میدان الکتریکی در جهت x و مقدار آن m است:

E = m x̂

رابطه میدان الکتریکی و پتانسیل:

E = -∇φ

بنابراین پتانسیل الکتریکی برابر است با:

φ(x) = -mx

انرژی پتانسیل ذره باردار:

Ve = qφ = -qmx

۲) پتانسیل برداری

برای میدان مغناطیسی ثابت B می‌توان پتانسیل برداری را به صورت زیر نوشت:

A = (1/2) (B × r)

۳) هامیلتونی سیستم

H = (1 / 2μ) ( -iħ∇ − qA )² + qφ + Vbox(r)

در نتیجه معادله شرودینگر مستقل از زمان:

[(1 / 2μ)(-iħ∇ − qA)² − qmx + Vbox(r)] ψ(r) = E ψ(r)

که در آن پتانسیل جعبه به صورت زیر تعریف می‌شود:

Vbox = 0 داخل جعبه


Vbox = ∞ خارج جعبه

ب) تحلیل میدان مغناطیسی و تبهگنی انرژی

در حالت عادی (بدون میدان خارجی) انرژی‌های ذره در جعبه سه بعدی به صورت زیر هستند:

E(nx,ny,nz) = (ħ²π² / 2μn²)(nx² + ny² + nz²)

در این حالت بسیاری از ترازهای انرژی دارای تبهگنی هستند.

اما با اعمال میدان الکتریکی در جهت x، تقارن سیستم شکسته می‌شود
و انرژی‌ها در راستای x تغییر می‌کنند. این پدیده به عنوان
اثر استارک (Stark Effect) شناخته می‌شود.

به طور کلی میدان مغناطیسی نمی‌تواند اثر میدان الکتریکی را حذف کند،
زیرا میدان الکتریکی از طریق پتانسیل اسکالر وارد هامیلتونی می‌شود
در حالی که میدان مغناطیسی از طریق پتانسیل برداری وارد معادله می‌شود.

برای ساده‌تر شدن حل، می‌توان میدان مغناطیسی را صفر در نظر گرفت یا آن را
در راستای x (موازی میدان الکتریکی) انتخاب کرد.

ج) دامنه گذار در تقریب دو قطبی الکتریکی

در تقریب دو قطبی، دامنه گذار بین دو حالت کوانتومی برابر است با المان
ماتریسی عملگر دوقطبی:

Transition Amplitude ∝ < ψf | ε · r | ψi >

که در آن ε جهت قطبش میدان الکتریکی است.

حالت اولیه

ψi = ψ111

اولین حالت برانگیخته

ψf = ψ211

دامنه گذار برابر انتگرال زیر روی حجم جعبه است:

M = ∫∫∫ ψ211*(x,y,z) x ψ111(x,y,z) dxdydz

از آنجا که توابع موج در راستای y و z متعامد هستند،
انتگرال فقط به راستای x وابسته می‌شود:

M = ∫₀ⁿ (√(2/n) sin(2πx/n)) x (√(2/n) sin(πx/n)) dx

نتیجه این انتگرال مقدار غیر صفر می‌دهد و بنابراین گذار
بین حالت پایه و حالت برانگیخته در حضور میدان الکتریکی مجاز است.

برای محاسبه عددی نهایی کافی است مقادیر n و m
را از شماره دانشجویی خود در روابط بالا قرار دهید.