:::writing
مثال کاربردی مدرن: کنترل کوانتومی در کیوبیتهای ابررسانا (Transmon)
در کامپیوترهای کوانتومی مدرن، از مدارهای ابررسانا به نام ترنزمون (Transmon) به عنوان کیوبیت استفاده میشود. این مدارها را میتوان به عنوان یک نوسانگر هماهنگ در نظر گرفت که به دلیل جفتشدگی با خازن، یک بخش غیرخطی ضعیف به پتانسیل آنها اضافه شده است.
برای کنترل وضعیت این کیوبیتها، از یک موج مایکروویو استفاده میشود که پتانسیل اغتشاشی با توانهای بالاتر مکان را به سیستم وارد میکند. در این مثال، گذار کوانتومی ناشی از این پتانسیل مدرن را گامبهگام بررسی میکنیم.
تعریف مسئله فیزیکی
یک کیوبیت ابررسانا تحت تابش پالس مایکروویو قرار دارد که پتانسیل اغتشاشی زیر را به سیستم اعمال میکند:
V(t) = γ (x + α x³) cos(ωd * t)
که در آن ωd فرکانس درایو مایکروویو و α ضریب غیرخطی بودن پتانسیل است. میخواهیم دامنه گذار از حالت پایه به اولین و دومین حالت برانگیخته را محاسبه کنیم.
گام ۱: نوشتن عملگر مکان بر حسب عملگرهای نردبانی
x = C (a + a†)
که در آن C ضریب ثابت مقیاس نوسانگر است:
C = √(ħ / (2 M ω))
گام ۲: بسط جملات عملگر پتانسیل
برای جمله اول داریم:
x = C (a + a†)
برای جمله دوم (توان سوم) داریم:
x³ = C³ (a + a†)³ = C³ (a³ + 3 a² a† + 3 a a†² + a†³)
گام ۳: اعمال کل پتانسیل روی حالت پایه
میدانیم عملگر نابودی روی حالت پایه صفر میشود (a|0> = 0). بنابراین داریم:
(x + α x³) |0> = C (a + a†) |0> + α C³ (a + a†)³ |0>
با جایگذاری خروجی عملگرها روی حالت پایه:
(x + α x³) |0> = C |1> + α C³ (3 |1> + √6 |3>)
سادهسازی نهایی عبارت:
(x + α x³) |0> = (C + 3 α C³) |1> + (α C³ √6) |3>
گام ۴: محاسبه دامنه گذار به حالتهای مختلف
۱. گذار به حالت اول برانگیخته (کیوبیت ۱):
<1| V |0> = C + 3 α C³
۲. گذار به حالت دوم برانگیخته (کیوبیت ۲):
<2| V |0> = 0
۳. گذار به حالت سوم برانگیخته (کیوبیت ۳):
<3| V |0> = α C³ √6
نتیجهگیری مدرن فیزیکی
- در تکنولوژی کیوبیتهای ابررسانا، برای اینکه سیستم فقط بین دو حالت اصلی (صفر و یک) نوسان کند و به حالتهای بالاتر (مانند سه) فرار نکند، باید مقدار ضریب غیرخطی α به دقت کنترل شود.
- از آنجا که عنصر ماتریسی گذار به حالت دوم یعنی <2|V|0> به دلیل زوج بودن پاریته کاملاً صفر است، کیوبیت در برابر نشت اطلاعات به این تراز محافظت میشود.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.