توسط علی رضا نقش نیلچی
| یکشنبه هفتم تیر ۱۴۰۵ | 2:25
جزئیات سادهسازی ریاضی میدانهای Ez و Ey
در این بخش، فرآیند دقیق ریاضی که در تصویر (ستونهای چپ و راست) برای استخراج مؤلفههای میدان الکتریکی از روی میدان مغناطیسی انجام شده است را بررسی میکنیم.
۱. استخراج و سادهسازی مؤلفه Ez
ابتدا از رابطه میدان مغناطیسی (Bx) نسبت به y مشتق میگیریم:
dBx/dy = B1 * (-ik cosθ) * exp(-iky cosθ) + B'1 * (ik cosθ) * exp(iky cosθ)
با توجه به شرط مرزی Ez(0)=0، نتیجه گرفتیم که B1 = B'1 است. بنابراین با فاکتورگیری خواهیم داشت:
dBx/dy = B1 * (ik cosθ) * [ exp(iky cosθ) - exp(-iky cosθ) ]
طبق اتحاد اوئلر [exp(iα) - exp(-iα) = 2i sinα]، عبارت داخل کروشه ساده میشود:
dBx/dy = B1 * (ik cosθ) * [ 2i sin(ky cosθ) ]
dBx/dy = -2k cosθ * B1 * sin(ky cosθ)
حالا با قرار دادن این مشتق در رابطه Ez = -(i / μεω) * (dBx/dy)، نتیجه نهایی حاصل میشود:
Ez = [ 2ik cosθ * B1 / (μ*ε*ω) ] * sin(ky cosθ) * exp(-i(ωt - kz sinθ))
۲. استخراج و سادهسازی مؤلفه Ey
برای محاسبه Ey، ابتدا خود Bx را با فرض B1=B'1 به فرم مثلثاتی در میآوریم:
Bx = 2 * B1 * cos(ky cosθ) * exp(-i(ωt - kz sinθ))
حالا مشتق نسبت به z را محاسبه میکنیم (که فقط از بخش نمایی گرفته میشود):
dBx/dz = 2 * B1 * cos(ky cosθ) * (ik sinθ) * exp(-i(ωt - kz sinθ))
در نهایت با جایگذاری در رابطه Ey = (i / μεω) * (dBx/dz) و با توجه به اینکه i*i = -1 است:
Ey = [ -2k sinθ * B1 / (μ*ε*ω) ] * cos(ky cosθ) * exp(-i(ωt - kz sinθ))
نکات کلیدی سادهسازی:
- تبدیل نمایی به sin در Ez باعث میشود شرط مرزی در دیوارهها (صفر شدن میدان) ارضا شود.
- تبدیل نمایی به cos در Ey و Bx نشاندهنده ماهیت نوسانی این میدانها بین صفحات است.
- علامت منفی در Ey مستقیماً از حاصلضرب ضرایب موهومی (i) در مشتقگیری به دست آمده است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.