تحلیل یادداشتهای الکترومغناطیس: استخراج ضریب شکست
این یادداشتها مربوط به مبحث الکترومغناطیس (معادلات ماکسول و انتشار امواج) هستند و گامهای ریاضی برای استخراج رابطه عدد موج و ضریب شکست را نشان میدهند.
۱. تحلیل معادلات میدانهای E و B
در بخش اول یادداشت، رابطه بین بردار موج (k)، میدان الکتریکی (E) و میدان مغناطیسی (B) در یک موج تخت آورده شده است:
k × E = ωB → B = (k / ω) E
این معادله نشان میدهد که در یک موج تخت، میدان مغناطیسی بر هر دو بردار k و E عمود است.
۲. استفاده از اتحاد برداری (قانون BAC-CAB)
در گام بعدی، با جایگذاری رابطه B در معادله دیگر ماکسول، به یک ضرب سهگانه برداری میرسیم. نویسنده از اتحاد معروف زیر استفاده کرده که در یادداشت با نام شوخیآمیز "قانون بک-کب" مشخص شده است:
A × (B × C) = B(A ⋅ C) - C(A ⋅ B)
۳. سادهسازی و استخراج ضریب شکست (n)
با توجه به اینکه در امواج عرضی، بردار موج بر میدان الکتریکی عمود است (k ⊥ E)، حاصلضرب نقطهای آنها صفر میشود:
k ⋅ E = 0
با حذف این ترم، به رابطه نهایی برای عدد موج (k) میرسیم:
k = ω √κ / c = ωn / c
در اینجا n همان ضریب شکست محیط است که سرعت انتشار موج را تعیین میکند.
۴. جواب عمومی معادله موج (بسط فوریه)
در انتهای تصویر، فرم کلی میدان الکتریکی به صورت مجموعهای از امواج تخت تکرنگ نوشته شده است:
E(r, t) = ∑ Ej(ωj, kj) e-i(ωjt - kj⋅r)
* طبق یادداشت آبی رنگ: این عبارت نشاندهنده دامنه نوسان تکرنگ و سهم آن در تشکیل کل موج الکترومغناطیسی است.
نتیجهگیری: سرعت انتشار موج در محیط، تابعی از ویژگیهای فیزیکی آن محیط (n) است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.