ریاضیات

عملگر ایزواسپین در مکانیک کوانتومی

در فیزیک هسته‌ای و ذرات، ایزواسپین (Isospin) یک تقارن ریاضی شبیه اسپین است
که برای توصیف شباهت رفتار پروتون و نوترون استفاده می‌شود.

۱) عملگر ایزواسپین

ایزواسپین با یک بردار عملگری تعریف می‌شود:

T⃗ = (T_x, T_y, T_z)

این عملگرها از همان روابط جابجایی تکانه زاویه‌ای پیروی می‌کنند:

[T_i, T_j] = iħ ε_ijk T_k

همچنین عملگر مربع ایزواسپین برابر است با:

T² = T_x² + T_y² + T_z²

۲) بردار حالت (State Vector)

حالت‌های ایزواسپین با دو عدد کوانتومی مشخص می‌شوند:

• T : مقدار کل ایزواسپین


• T₃ : مؤلفه در راستای z

بردار حالت به صورت زیر نوشته می‌شود:

|T , T₃〉

مثال برای نوکلئون‌ها:

|p〉 = |1/2 , +1/2〉

|n〉 = |1/2 , −1/2〉

یعنی پروتون و نوترون دو حالت مختلف از یک دابلت ایزواسپین هستند.

۳) مقدار ویژه (Eigenvalues)

برای عملگر T² :

T² |T , T₃〉 = ħ² T(T+1) |T , T₃〉

پس مقدار ویژه برابر است با:

ħ² T(T+1)

برای عملگر T_z :

T_z |T , T₃〉 = ħ T₃ |T , T₃〉

پس مقدار ویژه برابر است با:

ħ T₃

که در آن:

T₃ = −T , −T+1 , ... , T

۴) مثال

برای نوکلئون‌ها:

T = 1/2

مقادیر ممکن برای T₃ :

• +1/2 → پروتون


• −1/2 → نوترون