ریاضیات

چگالی حالت‌ها برای فرمیون بی‌جرم در یک مکعب

در این نوشته می‌خواهیم تعداد حالت‌ها و چگالی حالت‌ها را برای یک گاز فرمیونی بی‌جرم

در یک مکعب به دست آوریم. رابطه‌ی انرژی و تکانه برای فرمیون بی‌جرم به صورت زیر است:

E = pc

فرض می‌کنیم ذرات در یک مکعب با ضلع L قرار دارند. بنابراین حجم مکعب برابر است با:

V = L³

۱. کوانتیده شدن تکانه در مکعب

اگر شرایط مرزی تناوبی را در نظر بگیریم، مؤلفه‌های تکانه به صورت زیر کوانتیده می‌شوند:

p_x = (2πℏ/L)n_x,

p_y = (2πℏ/L)n_y,

p_z = (2πℏ/L)n_z

که در آن:

n_x, n_y, n_z = 0, ±1, ±2, ...

بنابراین فاصله‌ی حالت‌های مجاز در هر راستای فضای تکانه برابر است با:

Δp = 2πℏ/L

پس حجم هر حالت در فضای تکانه برابر است با:

ΔV_p = (2πℏ/L)³

از آن‌جا که:

V = L³

می‌توان نوشت:

ΔV_p = (2πℏ)³ / V

در نتیجه تعداد حالت‌ها در یک المان کوچک از فضای تکانه، یعنی d³p، برابر است با:

dN = g V d³p / (2πℏ)³

در این رابطه، g ضریب تبهگنی است. برای مثال، برای فرمیون اسپین یک‌دوم معمولاً داریم:

g = 2

۲. تعداد حالت‌ها تا تکانه‌ی p

در فضای تکانه، حالت‌هایی که اندازه‌ی تکانه‌ی آن‌ها کمتر از p باشد،

داخل کره‌ای به شعاع p قرار می‌گیرند.

حجم این کره در فضای تکانه برابر است با:

(4/3)πp³

پس تعداد حالت‌ها تا تکانه‌ی p برابر می‌شود با:

N(p) = g V /(2πℏ)³ × (4/3)πp³

با ساده‌سازی:

N(p) = g V p³ / (6π²ℏ³)

اگر مکعب ضلع L داشته باشد، چون V = L³، داریم:

N(p) = g L³ p³ / (6π²ℏ³)

۳. چگالی حالت‌ها بر حسب تکانه

چگالی حالت‌ها بر حسب تکانه از مشتق گرفتن تعداد حالت‌ها نسبت به p به دست می‌آید:

D(p) = dN/dp

پس:

D(p) = d/dp [ g V p³ / (6π²ℏ³) ]

در نتیجه:

D(p) = g V p² / (2π²ℏ³)

یعنی تعداد حالت‌ها در بازه‌ی p تا p + dp برابر است با:

dN = [ g V p² / (2π²ℏ³) ] dp

۴. چگالی حالت‌ها بر حسب انرژی برای فرمیون بی‌جرم

برای فرمیون بی‌جرم رابطه‌ی انرژی و تکانه به صورت زیر است:

E = pc

پس:

p = E/c

و:

dp = dE/c

اکنون رابطه‌ی تعداد حالت‌ها در بازه‌ی تکانه را می‌نویسیم:

dN = [ g V p² / (2π²ℏ³) ] dp

با جایگذاری p = E/c و dp = dE/c:

dN = [ g V /(2π²ℏ³) ] (E/c)² (dE/c)

بنابراین:

dN = [ g V E² / (2π²ℏ³c³) ] dE

پس چگالی حالت‌ها بر حسب انرژی برابر است با:

D(E) = dN/dE = g V E² / (2π²ℏ³c³)

یا با قرار دادن V = L³:

D(E) = g L³ E² / (2π²ℏ³c³)

۵. تعداد حالت‌ها تا انرژی E

تعداد حالت‌ها تا انرژی E را می‌توان از انتگرال چگالی حالت‌ها به دست آورد:

N(E) = ∫₀^E D(E') dE'

یعنی:

N(E) = [ g V /(2π²ℏ³c³) ] ∫₀^E E'² dE'

و چون:

∫₀^E E'² dE' = E³/3

پس:

N(E) = g V E³ / (6π²ℏ³c³)

یا برای مکعبی با ضلع L:

N(E) = g L³ E³ / (6π²ℏ³c³)

۶. حالت خاص g = 2

برای یک فرمیون اسپین یک‌دوم، معمولاً دو حالت اسپینی داریم؛ بنابراین:

g = 2

در این حالت، چگالی حالت‌ها بر حسب انرژی برابر است با:

D(E) = V E² / (π²ℏ³c³)

و تعداد حالت‌ها تا انرژی E برابر می‌شود با:

N(E) = V E³ / (3π²ℏ³c³)

خلاصه‌ی نهایی