:::writing
حل مسئله ۲
الف) محاسبه میدان مغناطیسی
پتانسیل برداری داده شده است:
A = ( -By/2 , Bx/2 , 0 )
میدان مغناطیسی از رابطه زیر به دست میآید:
B = ∇ × A
مولفههای چرخش:
Bx = ∂Az/∂y − ∂Ay/∂z = 0
By = ∂Ax/∂z − ∂Az/∂x = 0
Bz = ∂Ay/∂x − ∂Ax/∂y
حال مشتقها را حساب میکنیم:
∂(Bx/2)/∂x = B/2
∂(-By/2)/∂y = -B/2
بنابراین:
Bz = B/2 - (-B/2) = B
پس میدان مغناطیسی برابر است با:
B = (0 , 0 , B)
ب) هامیلتونی سیستم
هامیلتونی یک ذره باردار در میدان الکترومغناطیسی:
H = (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )²
با جایگذاری پتانسیل برداری:
H = (1 / 2m)[ (px + eBy/2)² + (py - eBx/2)² + pz² ]
این هامیلتونی حرکت الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت را توصیف میکند.
حل مسئله ۳
الف) تبدیل پیمانهای
تبدیل پیمانهای برای پتانسیل برداری:
A → A + ∇χ
میدان مغناطیسی برابر است با:
B = ∇ × A
اگر تبدیل پیمانهای را اعمال کنیم:
B' = ∇ × (A + ∇χ)
B' = ∇ × A + ∇ × (∇χ)
ولی میدانیم:
∇ × (∇χ) = 0
پس:
B' = B
بنابراین میدان مغناطیسی تغییر نمیکند.
ب) تغییر تابع موج
برای آنکه معادله شرودینگر ناوردا بماند، تابع موج باید به صورت زیر تغییر کند:
ψ → exp( ieχ / ħ ) ψ
بنابراین تبدیل پیمانهای فقط یک فاز موضعی به تابع موج اضافه میکند.
حل مسئله ۴
انرژی جنبشی به صورت زیر است:
( -iħ∇ − eA )²
بسط این عبارت:
( -iħ∇ − eA )² =
(-iħ∇)²
- e(-iħ∇·A)
- e(A·(-iħ∇))
+ e²A²
بنابراین هامیلتونی به شکل زیر نوشته میشود:
H =
(-ħ² / 2m) ∇²
+ (ieħ / 2m)(∇·A + A·∇)
+ (e² / 2m)A²
این جملهها نشان میدهند که میدان مغناطیسی به صورت کوانتومی با تکانه ذره جفت میشود.
حل مسئله ۵
تبدیل پیمانهای:
A → A + ∇χ
φ → φ − ∂χ/∂t
و تغییر تابع موج:
ψ → exp( ieχ / ħ ) ψ
اگر این تبدیلها را در معادله شرودینگر قرار دهیم:
iħ ∂ψ/∂t = [ (1 / 2m)( -iħ∇ − eA )² + eφ ] ψ
مشاهده میشود که تمام جملههای اضافی که از مشتق گرفتن فاز به وجود میآیند دقیقاً با تغییرات پتانسیلها خنثی میشوند.
بنابراین شکل معادله تغییر نمیکند و معادله شرودینگر تحت تبدیلهای پیمانهای ناوردا است.
:::
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.