ریاضیات

ارتباط مدل دو الکترونی با اتم هلیوم

اتم هلیوم شامل یک هسته با بار +2e و دو الکترون است. بنابراین هامیلتونی این سیستم شامل سه بخش اصلی است:

H = H1 + H2 + Vee
H1 = kinetic + Coulomb attraction to nucleus
H2 = kinetic + Coulomb attraction to nucleus
Vee = e² / |r1 - r2|

هامیلتونی کامل سیستم

H = - (ħ² / 2m)∇1² - (ħ² / 2m)∇2²
    - (2e² / r1) - (2e² / r2)
    + (e² / |r1 - r2|)

دو جمله اول انرژی جنبشی الکترون‌ها هستند.
دو جمله بعدی نیروی جاذبه بین هسته و هر الکترون را نشان می‌دهند.
جمله آخر نیز دافعه کولنی بین دو الکترون است.

تقریب بدون برهم‌کنش

اگر دافعه بین الکترون‌ها را موقتاً نادیده بگیریم، هر الکترون مانند یک اتم هیدروژن با بار هسته Z=2 رفتار می‌کند.

En = - (Z² Ry) / n²

برای هلیوم Z = 2 است، بنابراین انرژی حالت پایه هر الکترون:

E1 = -4 Ry

چون دو الکترون در حالت پایه هستند:

E_total ≈ -8 Ry

اثر دافعه الکترون‌ها

در واقعیت، دو الکترون یکدیگر را دفع می‌کنند و این باعث می‌شود انرژی کل سیستم کمی افزایش یابد.
برای محاسبه این اثر از روش‌های تقریبی مانند موارد زیر استفاده می‌شود:

• نظریه اختلال (Perturbation Theory)


• روش واریاسیونی (Variational Method)


• روش هارتری–فاک (Hartree–Fock)

ایده روش واریاسیونی

در این روش فرض می‌کنیم که بار مؤثر هسته برای هر الکترون کمتر از 2 است، زیرا الکترون دیگر تا حدی هسته را می‌پوشاند (screening).

Zeff ≈ 1.69

با استفاده از این مقدار، انرژی حالت پایه هلیوم تقریباً برابر می‌شود با:

E ≈ -5.8 Ry

که به مقدار تجربی بسیار نزدیک است.

این مثال نشان می‌دهد که برهم‌کنش بین الکترون‌ها نقش بسیار مهمی در ساختار واقعی اتم‌ها دارد و بدون در نظر گرفتن آن نمی‌توان انرژی‌های دقیق را به دست آورد.