تصحیح انرژی به دلیل برهمکنش کولنی (نظریه اختلال)
وقتی دو الکترون در یک نوسانگر هماهنگ قرار دارند، علاوه بر پتانسیل نوسانگر، پتانسیل دافعه کولنی نیز بین آنها وجود دارد. این پتانسیل را به عنوان یک اختلال کوچک (Perturbation) در نظر میگیریم:
H' = e² / |x1 - x2|
تصحیح مرتبه اول انرژی (ΔE)
طبق نظریه اختلال، تصحیح مرتبه اول انرژی برابر است با مقدار انتظار (Expectation Value) پتانسیل اختلالی در حالت پایه بدون اختلال:
ΔE = 〈Ψ | H' | Ψ〉
ΔE = ∫∫ Ψ*(x1,x2) [e² / |x1 - x2|] Ψ(x1,x2) dx1 dx2
محاسبه برای حالت اسپین غیریکسان (Singlet)
در حالتی که هر دو الکترون در تراز n=0 هستند، تابع موج فضایی متقارن بود:
Ψ(x1, x2) = (α/π)^(1/2) * exp[-α(x1² + x2²)/2]
با جایگذاری در انتگرال و استفاده از تغییر متغیر برای مختصات مرکز جرم (R) و مختصات نسبی (r = x1 - x2)، انتگرال به شکل زیر ساده میشود:
ΔE_singlet = e² * √(α/π)
محاسبه برای حالت اسپین یکسان (Triplet)
در حالت اسپین یکسان، به دلیل وجود جمله (x1 - x2) در تابع موج پادمتقارن، الکترونها از هم دورتر میمانند (حفره فرمیونی). بنابراین انتظار داریم تصحیح انرژی دافعه در این حالت کمتر از حالت قبل باشد:
ΔE_triplet < ΔE_singlet
انرژی کل نهایی (تقریبی)
E_total ≈ E_unperturbed + ΔE
تحلیل فیزیکی: دافعه کولنی همیشه انرژی را افزایش میدهد (ΔE > 0). اما در فیزیک اتمی، این همان دلیلی است که باعث میشود حالتهای با اسپین موازی (قاعده هوند) انرژی کمتری نسبت به حالتهای جفتشده داشته باشند، چون دافعه بین آنها به دلیل ساختار تابع موج کمتر حس میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.