دو الکترون بدون برهمکنش در چاه پتانسیل متناهی (یکبعدی)
دو الکترون، فرمیون با اسپین 1/2 هستند. بنابراین تابع موج کل باید نسبت به جابجایی دو ذره
پادمتقارن باشد.
1) معادله شرودینگر تکذرهای
[-(ħ² / 2m) d²/dx² + V(x)] ψ(x) = E ψ(x)
برای چاه پتانسیل متناهی با عرض a:
V(x) = 0 , 0 < x < a
V(x) = V₀ , خارج از چاه
حل این معادله، توابع ویژه تکذرهای ψ₁(x)، ψ₂(x)، ... را میدهد.
حالت پایه تکذرهای را با ψ₁(x) نشان میدهیم.
2) ساخت تابع موج دو ذرهای
چون الکترونها بدون برهمکنش هستند:
Ψ_space(x₁,x₂) = ψ_n(x₁) ψ_m(x₂)
اما چون ذرات فرمیون هستند باید:
Ψ_total = Ψ_space × Ψ_spin
و کل تابع موج باید پادمتقارن باشد.
3) حالت پایه سیستم دو الکترونی
در حالت پایه، هر دو الکترون در کمترین تراز انرژی (n=1) قرار میگیرند.
پس تابع مکانی متقارن است:
Ψ_space(x₁,x₂) = ψ₁(x₁) ψ₁(x₂)
برای پادمتقارن شدن کل تابع موج، قسمت اسپینی باید تکین (Singlet) باشد:
Ψ_spin = (1/√2) [ ↑(1)↓(2) − ↓(1)↑(2) ]
پس تابع موج کل حالت پایه:
Ψ_total = ψ₁(x₁)ψ₁(x₂) × (1/√2)[ ↑(1)↓(2) − ↓(1)↑(2) ]
4) سایر حالات ممکن
اگر یکی از الکترونها در تراز دوم باشد:
Ψ_space = (1/√2)[ ψ₁(x₁)ψ₂(x₂) − ψ₂(x₁)ψ₁(x₂) ]
در این حالت قسمت مکانی پادمتقارن است،
پس قسمت اسپینی باید متقارن (Triplet) باشد:
↑↑
↓↓
(1/√2)[ ↑↓ + ↓↑ ]
الگوریتم کلی حل مسئله
- پتانسیل چاه متناهی را تعریف کن.
- معادله شرودینگر تکذرهای را حل کن.
- توابع ویژه ψ_n(x) و انرژیهای E_n را به دست آور.
- تابع موج دو ذرهای را به صورت ضرب توابع تکذرهای بنویس.
- اصل طرد پائولی را اعمال کن (پادمتقارن بودن کل تابع موج).
- اگر قسمت مکانی متقارن بود → اسپین تکین انتخاب کن.
- اگر قسمت مکانی پادمتقارن بود → اسپین سهتایی انتخاب کن.
- تابع موج کل را بنویس.
نکته مهم: در حالت پایه دو الکترون بدون برهمکنش در چاه متناهی،
هر دو در n=1 قرار میگیرند و تابع اسپینی حتماً تکین است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.